Номер 296, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 296, страница 109.

296 С помощью схематических рисунков определите, графики какой пары функций пересекаются:

1) $y = -\frac{6}{x}$ и $y = 2x$

или

2) $y = \frac{6}{x}$ и $y = 2x - 4$.

Вычислите координаты точек пересечения.

1) $y = -\frac{6}{x}$ и $y = 2x$

Сначала проанализируем расположение графиков функций схематически.

График функции $y = -\frac{6}{x}$ представляет собой гиперболу. Поскольку коэффициент перед $x$ отрицательный ($k = -6$), ветви этой гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

График функции $y = 2x$ — это прямая линия, которая проходит через начало координат (0, 0) и имеет положительный угловой коэффициент ($k=2$). Эта прямая расположена в первой и третьей координатных четвертях.

Схематически видно, что ветви гиперболы и прямая находятся в разных четвертях и не имеют общих точек.

Чтобы найти точные координаты точек пересечения, нужно решить систему уравнений. Для этого приравняем выражения для $y$:

$-\frac{6}{x} = 2x$

Домножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$-6 = 2x^2$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = -3$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Это подтверждает, что графики данных функций не пересекаются.

Ответ: графики не пересекаются.

2) $y = \frac{6}{x}$ и $y = 2x - 4$

Проанализируем расположение графиков функций схематически.

График функции $y = \frac{6}{x}$ — это гипербола. Поскольку коэффициент $k = 6$ положительный, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.

График функции $y = 2x - 4$ — это прямая линия. Она пересекает ось ординат (OY) в точке $(0, -4)$ и ось абсцисс (OX) в точке $(2, 0)$. Прямая проходит через первую, третью и четвертую координатные четверти.

Так как и прямая, и гипербола находятся в первой и третьей четвертях, можно предположить, что их графики пересекаются.

Теперь вычислим точные координаты точек пересечения, решив систему уравнений. Приравняем выражения для $y$:

$\frac{6}{x} = 2x - 4$

Домножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$6 = 2x^2 - 4x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -3. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и -1.

$x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, подставив их в одно из исходных уравнений (например, в $y = \frac{6}{x}$):

Для $x_1 = 3$: $y_1 = \frac{6}{3} = 2$. Первая точка пересечения — $(3, 2)$.

Для $x_2 = -1$: $y_2 = \frac{6}{-1} = -6$. Вторая точка пересечения — $(-1, -6)$.

Следовательно, графики данной пары функций пересекаются.

Ответ: графики пересекаются в точках $(3, 2)$ и $(-1, -6)$.