Номер 301, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 301, страница 110.

301 1) Разберите приём решения системы уравнений $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}, \\ x + y = 9: \end{cases}$

$\begin{cases} \frac{x+y}{xy} = \frac{1}{2}, \\ x + y = 9 \end{cases}$ – сложили дроби $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$;

$\begin{cases} \frac{9}{xy} = \frac{1}{2}, \\ x + y = 9 \end{cases}$ – подставили в первое уравнение значение суммы $x + y$;

$\begin{cases} xy = 18, \\ x + y = 9 \end{cases}$ – из первого уравнения нашли произведение $xy$.

Теперь можно воспользоваться способом подстановки. Закончите решение.

2) Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}, \\ x + y = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = 20, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{15}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}, \\ xy = -2. \end{cases}$

1) Нам дана система уравнений, сведенная к виду: $ \begin{cases} xy = 18 \\ x + y = 9 \end{cases} $ Воспользуемся способом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$: $y = 9 - x$. Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы: $x(9 - x) = 18$. Раскроем скобки: $9x - x^2 = 18$. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 - 9x + 18 = 0$. Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно 18. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 6$. Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя выражение $y = 9 - x$: 1. Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 9 - 3 = 6$. 2. Если $x_2 = 6$, то $y_2 = 9 - 6 = 3$. Таким образом, система имеет два решения в виде пар чисел $(x; y)$.
Ответ: $(3; 6)$, $(6; 3)$.

2) а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3} \\ x + y = 8 \end{cases} $ Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю: $\frac{x+y}{xy} = \frac{2}{3}$. Подставим в это уравнение значение $x+y=8$ из второго уравнения системы: $\frac{8}{xy} = \frac{2}{3}$. Из этой пропорции найдем произведение $xy$: $2 \cdot xy = 8 \cdot 3 \implies 2xy = 24 \implies xy = 12$. Теперь у нас есть новая, более простая система: $ \begin{cases} x+y = 8 \\ xy = 12 \end{cases} $ Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 8t + 12 = 0$. Корнями этого уравнения являются $t_1 = 2$ и $t_2 = 6$ (так как $2+6=8$ и $2 \cdot 6=12$). Следовательно, решениями системы являются пары чисел.
Ответ: $(2; 6)$, $(6; 2)$.

2) б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - y = 20 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{15} \end{cases} $ Преобразуем второе уравнение, приведя дроби к общему знаменателю: $\frac{y-x}{xy} = \frac{4}{15}$. Из первого уравнения мы знаем, что $x-y = 20$, следовательно $y-x = -(x-y) = -20$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение: $\frac{-20}{xy} = \frac{4}{15}$. Найдем произведение $xy$: $4 \cdot xy = -20 \cdot 15 \implies 4xy = -300 \implies xy = -75$. Получаем систему: $ \begin{cases} x - y = 20 \\ xy = -75 \end{cases} $ Из первого уравнения выразим $x$: $x = 20 + y$. Подставим это во второе уравнение: $(20+y)y = -75$. $y^2 + 20y + 75 = 0$. Решим это квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, $y_1+y_2 = -20$ и $y_1y_2 = 75$. Корни: $y_1 = -5$ и $y_2 = -15$. Найдем соответствующие значения $x$: 1. Если $y_1 = -5$, то $x_1 = 20 + (-5) = 15$. 2. Если $y_2 = -15$, то $x_2 = 20 + (-15) = 5$.
Ответ: $(15; -5)$, $(5; -15)$.

2) в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ xy = -2 \end{cases} $ Преобразуем первое уравнение: $\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{2}$. Подставим значение $xy = -2$ из второго уравнения: $\frac{x+y}{-2} = \frac{1}{2}$. Отсюда найдем сумму $x+y$: $x+y = -1$. Получаем систему: $ \begin{cases} x+y = -1 \\ xy = -2 \end{cases} $ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-1)t + (-2) = 0$, то есть $t^2 + t - 2 = 0$. Корнями этого уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$ (так как $1+(-2)=-1$ и $1 \cdot (-2)=-2$). Следовательно, решениями системы являются пары чисел.
Ответ: $(1; -2)$, $(-2; 1)$.