Номер 294, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 294, страница 109.

294 Решите систему уравнений (выберите удобный способ):

а) $\begin{cases} x^2 + y = 0, \\ 3x - y = 10; \end{cases}$

б) $\begin{cases} u + v^2 = -3, \\ u - 5v = -3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3x - z = 3, \\ 2x^2 - z = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3z + y = 6, \\ 2z^2 - 3y = -7; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 3x^2 + 2x = 3y, \\ 2x + 5 = y; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 2y = x^2 - 4x, \\ 4y = 3x - 9. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y = 0 \\ 3x - y = 10 \end{cases}$

Наиболее удобный способ решения - метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами. Сложим левые и правые части уравнений системы:

$(x^2 + y) + (3x - y) = 0 + 10$

$x^2 + 3x = 10$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-10$, а их сумма равна $-3$. Подбором находим корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$. Для этого подставим значения $x$ в любое из уравнений исходной системы. Удобнее использовать первое уравнение $x^2 + y = 0$, из которого $y = -x^2$.

1. При $x_1 = -5$:

$y_1 = -(-5)^2 = -25$

Первая пара решений: $(-5, -25)$.

2. При $x_2 = 2$:

$y_2 = -(2)^2 = -4$

Вторая пара решений: $(2, -4)$.

Ответ: $(-5, -25), (2, -4)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} u + v^2 = -3 \\ u - 5v = -3 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $u$:

$u = 5v - 3$

Подставим полученное выражение для $u$ в первое уравнение системы:

$(5v - 3) + v^2 = -3$

Упростим уравнение, перенеся все члены в левую часть:

$v^2 + 5v - 3 + 3 = 0$

$v^2 + 5v = 0$

Вынесем общий множитель $v$ за скобки:

$v(v + 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $v$:

$v_1 = 0$ или $v_2 = -5$.

Теперь найдем соответствующие значения $u$ для каждого $v$, используя выражение $u = 5v - 3$.

1. При $v_1 = 0$:

$u_1 = 5(0) - 3 = -3$

Первая пара решений: $(-3, 0)$.

2. При $v_2 = -5$:

$u_2 = 5(-5) - 3 = -25 - 3 = -28$

Вторая пара решений: $(-28, -5)$.

Ответ: $(-3, 0), (-28, -5)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x - z = 3 \\ 2x^2 - z = 3 \end{cases}$

Поскольку правые части обоих уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$3x - z = 2x^2 - z$

Прибавим $z$ к обеим частям уравнения:

$3x = 2x^2$

Перенесем все члены в одну сторону и решим полученное неполное квадратное уравнение:

$2x^2 - 3x = 0$

$x(2x - 3) = 0$

Получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$ или $2x - 3 = 0 \implies x_2 = \frac{3}{2}$.

Теперь найдем соответствующие значения $z$. Выразим $z$ из первого уравнения: $z = 3x - 3$.

1. При $x_1 = 0$:

$z_1 = 3(0) - 3 = -3$

Первая пара решений: $(0, -3)$.

2. При $x_2 = \frac{3}{2}$:

$z_2 = 3\left(\frac{3}{2}\right) - 3 = \frac{9}{2} - \frac{6}{2} = \frac{3}{2}$

Вторая пара решений: $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$.

Ответ: $(0, -3), (\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3z + y = 6 \\ 2z^2 - 3y = -7 \end{cases}$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 6 - 3z$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$2z^2 - 3(6 - 3z) = -7$

Раскроем скобки и упростим:

$2z^2 - 18 + 9z = -7$

$2z^2 + 9z - 18 + 7 = 0$

$2z^2 + 9z - 11 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4(2)(-11) = 81 + 88 = 169 = 13^2$

Найдем корни для $z$:

$z = \frac{-9 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 \pm 13}{4}$

$z_1 = \frac{-9 + 13}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$z_2 = \frac{-9 - 13}{4} = \frac{-22}{4} = -\frac{11}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 6 - 3z$.

1. При $z_1 = 1$:

$y_1 = 6 - 3(1) = 3$

Первая пара решений (в формате (z, y)): $(1, 3)$.

2. При $z_2 = -\frac{11}{2}$:

$y_2 = 6 - 3\left(-\frac{11}{2}\right) = 6 + \frac{33}{2} = \frac{12}{2} + \frac{33}{2} = \frac{45}{2}$

Вторая пара решений: $(-\frac{11}{2}, \frac{45}{2})$.

Ответ: $(1, 3), (-\frac{11}{2}, \frac{45}{2})$.

д)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x^2 + 2x = 3y \\ 2x + 5 = y \end{cases}$

Применим метод подстановки. Второе уравнение уже выражает $y$ через $x$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x^2 + 2x = 3(2x + 5)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 2x = 6x + 15$

$3x^2 + 2x - 6x - 15 = 0$

$3x^2 - 4x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4(3)(-15) = 16 + 180 = 196 = 14^2$

Найдем корни для $x$:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 14}{6}$

$x_1 = \frac{4 + 14}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{4 - 14}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 2x + 5$.

1. При $x_1 = 3$:

$y_1 = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11$

Первая пара решений: $(3, 11)$.

2. При $x_2 = -\frac{5}{3}$:

$y_2 = 2\left(-\frac{5}{3}\right) + 5 = -\frac{10}{3} + \frac{15}{3} = \frac{5}{3}$

Вторая пара решений: $(-\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$.

Ответ: $(3, 11), (-\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$.

е)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2y = x^2 - 4x \\ 4y = 3x - 9 \end{cases}$

Применим метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:

$y = \frac{3x - 9}{4}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2 \left( \frac{3x - 9}{4} \right) = x^2 - 4x$

Сократим дробь в левой части:

$\frac{3x - 9}{2} = x^2 - 4x$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$3x - 9 = 2(x^2 - 4x)$

$3x - 9 = 2x^2 - 8x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0 = 2x^2 - 8x - 3x + 9$

$2x^2 - 11x + 9 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4(2)(9) = 121 - 72 = 49 = 7^2$

Найдем корни для $x$:

$x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{11 \pm 7}{4}$

$x_1 = \frac{11 + 7}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$

$x_2 = \frac{11 - 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = \frac{3x - 9}{4}$.

1. При $x_1 = \frac{9}{2}$:

$y_1 = \frac{3(\frac{9}{2}) - 9}{4} = \frac{\frac{27}{2} - \frac{18}{2}}{4} = \frac{\frac{9}{2}}{4} = \frac{9}{8}$

Первая пара решений: $(\frac{9}{2}, \frac{9}{8})$.

2. При $x_2 = 1$:

$y_2 = \frac{3(1) - 9}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Вторая пара решений: $(1, -\frac{3}{2})$.

Ответ: $(\frac{9}{2}, \frac{9}{8}), (1, -\frac{3}{2})$.