Номер 291, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 291, страница 109.

291 Решите систему уравнений, воспользовавшись любым способом по своему выбору:

а) $\begin{cases} \frac{x+z}{2} = 1, \\ x - z = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{y}{3} - \frac{z}{2} = \frac{1}{2}, \\ 2y + 3z = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y = -2, \\ 3x - y = -5; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{1}{5}m - \frac{1}{6}n = 0, \\ 5m - 4n = 2. \end{cases}$

Совет. Сначала избавьтесь от дробей в первом уравнении системы.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x + z}{2} = 1 \\ x - z = 3 \end{cases}$$

Для начала упростим первое уравнение, умножив обе его части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$2 \cdot \frac{x + z}{2} = 2 \cdot 1$

$x + z = 2$

Теперь система уравнений имеет вид:

$$ \begin{cases} x + z = 2 \\ x - z = 3 \end{cases}$$

Применим метод сложения: сложим левые и правые части обоих уравнений.

$(x + z) + (x - z) = 2 + 3$

$2x = 5$

$x = \frac{5}{2} = 2.5$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений, например, во второе ($x - z = 3$):

$2.5 - z = 3$

$-z = 3 - 2.5$

$-z = 0.5$

$z = -0.5$

Ответ: $x = 2.5, z = -0.5$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{y}{3} - \frac{z}{2} = \frac{1}{2} \\ 2y + 3z = 1 \end{cases}$$

Избавимся от дробей в первом уравнении. Для этого умножим обе его части на наименьший общий знаменатель, который равен 6:

$6 \cdot (\frac{y}{3} - \frac{z}{2}) = 6 \cdot \frac{1}{2}$

$2y - 3z = 3$

Получаем новую, эквивалентную систему:

$$ \begin{cases} 2y - 3z = 3 \\ 2y + 3z = 1 \end{cases}$$

Сложим два уравнения системы:

$(2y - 3z) + (2y + 3z) = 3 + 1$

$4y = 4$

$y = 1$

Подставим $y = 1$ во второе уравнение ($2y + 3z = 1$):

$2(1) + 3z = 1$

$2 + 3z = 1$

$3z = 1 - 2$

$3z = -1$

$z = -\frac{1}{3}$

Ответ: $y = 1, z = -\frac{1}{3}$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y = -2 \\ 3x - y = -5 \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на 12 (наименьший общий знаменатель для 3 и 4), чтобы избавиться от дробей:

$12 \cdot (\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y) = 12 \cdot (-2)$

$4x + 3y = -24$

Теперь система выглядит так:

$$ \begin{cases} 4x + 3y = -24 \\ 3x - y = -5 \end{cases}$$

Для удобства решения методом сложения умножим второе уравнение на 3:

$3 \cdot (3x - y) = 3 \cdot (-5)$

$9x - 3y = -15$

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы ($4x + 3y = -24$):

$(4x + 3y) + (9x - 3y) = -24 + (-15)$

$13x = -39$

$x = -3$

Подставим значение $x = -3$ во второе исходное уравнение ($3x - y = -5$):

$3(-3) - y = -5$

$-9 - y = -5$

$-y = -5 + 9$

$-y = 4$

$y = -4$

Ответ: $x = -3, y = -4$.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{5}m - \frac{1}{6}n = 0 \\ 5m - 4n = 2 \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на 30 (наименьший общий знаменатель для 5 и 6):

$30 \cdot (\frac{1}{5}m - \frac{1}{6}n) = 30 \cdot 0$

$6m - 5n = 0$

Система принимает вид:

$$ \begin{cases} 6m - 5n = 0 \\ 5m - 4n = 2 \end{cases}$$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения ($6m - 5n = 0$) выразим переменную $m$:

$6m = 5n$

$m = \frac{5}{6}n$

Подставим это выражение во второе уравнение системы ($5m - 4n = 2$):

$5(\frac{5}{6}n) - 4n = 2$

$\frac{25}{6}n - 4n = 2$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 6:

$25n - 24n = 12$

$n = 12$

Теперь найдем $m$, подставив значение $n=12$ в выражение $m = \frac{5}{6}n$:

$m = \frac{5}{6} \cdot 12$

$m = 10$

Ответ: $m = 10, n = 12$.