Номер 298, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 298, страница 110.

Решите систему уравнений способом подстановки (№ 298–299):

298 a) $\begin{cases} y + 2x = 0, \\ 2x^2 + y^2 - 6y = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 10y^2 - 4x = x^2 - 8y, \\ 3y - x = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y = 3, \\ x^2 - xy - 2y^2 = 7; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y + 2x = 1, \\ x^2 + xy + y^2 = 7. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:

$\begin{cases} y + 2x = 0 \\ 2x^2 + y^2 - 6y = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = -2x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2x^2 + (-2x)^2 - 6(-2x) = 0$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$2x^2 + 4x^2 + 12x = 0$

$6x^2 + 12x = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $6x$ за скобки:

$6x(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда находим возможные значения для $x$:

$6x = 0 \implies x_1 = 0$

$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя подстановку $y = -2x$.

1) Если $x_1 = 0$, то $y_1 = -2 \cdot 0 = 0$. Получаем решение $(0, 0)$.

2) Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 \cdot (-2) = 4$. Получаем решение $(-2, 4)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(-2, 4)$.

б) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 10y^2 - 4x = x^2 - 8y \\ 3y - x = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 3y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$10y^2 - 4(3y) = (3y)^2 - 8y$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$10y^2 - 12y = 9y^2 - 8y$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$10y^2 - 9y^2 - 12y + 8y = 0$

$y^2 - 4y = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y - 4) = 0$

Отсюда находим возможные значения для $y$:

$y_1 = 0$

$y - 4 = 0 \implies y_2 = 4$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя подстановку $x = 3y$.

1) Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 3 \cdot 0 = 0$. Получаем решение $(0, 0)$.

2) Если $y_2 = 4$, то $x_2 = 3 \cdot 4 = 12$. Получаем решение $(12, 4)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(12, 4)$.

в) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 3 \\ x^2 - xy - 2y^2 = 7 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 3$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(y + 3)^2 - (y + 3)y - 2y^2 = 7$

Раскроем скобки и упростим:

$(y^2 + 6y + 9) - (y^2 + 3y) - 2y^2 = 7$

$y^2 + 6y + 9 - y^2 - 3y - 2y^2 = 7$

Приведем подобные члены:

$-2y^2 + 3y + 9 = 7$

$-2y^2 + 3y + 2 = 0$

Умножим уравнение на $-1$, чтобы сделать старший коэффициент положительным:

$2y^2 - 3y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. $a=2, b=-3, c=-2$.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя $x = y + 3$.

1) Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 3 = 5$. Получаем решение $(5, 2)$.

2) Если $y_2 = -0.5$, то $x_2 = -0.5 + 3 = 2.5$. Получаем решение $(2.5, -0.5)$.

Ответ: $(5, 2)$, $(2.5, -0.5)$.

г) Дана система уравнений:

$\begin{cases} y + 2x = 1 \\ x^2 + xy + y^2 = 7 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 1 - 2x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 + x(1 - 2x) + (1 - 2x)^2 = 7$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + x - 2x^2 + (1 - 4x + 4x^2) = 7$

$x^2 + x - 2x^2 + 1 - 4x + 4x^2 = 7$

Приведем подобные члены:

$(x^2 - 2x^2 + 4x^2) + (x - 4x) + 1 - 7 = 0$

$3x^2 - 3x - 6 = 0$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$, используя $y = 1 - 2x$.

1) Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 1 - 2 \cdot 2 = 1 - 4 = -3$. Получаем решение $(2, -3)$.

2) Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 1 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3$. Получаем решение $(-1, 3)$.

Ответ: $(2, -3)$, $(-1, 3)$.