Страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

297 Вычислите координаты общих точек параболы и прямой:

a) $y = x^2 - 5x$ и $y = x - 8$;

б) $y = 2x - 6$ и $y = x^2 - 5$.

В каждом случае проиллюстрируйте ответ схематическим рисунком.

a) Даны парабола $y = x^2 - 5x$ и прямая $y = x - 8$. Чтобы найти координаты их общих точек, необходимо решить систему уравнений. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 5x = x - 8$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - x + 8 = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Отсюда находим корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = 4$

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив найденные значения $x$ в уравнение прямой $y = x - 8$ (это проще, чем подставлять в уравнение параболы):

При $x_1 = 2$:

$y_1 = 2 - 8 = -6$

Первая точка пересечения: $(2, -6)$.

При $x_2 = 4$:

$y_2 = 4 - 8 = -4$

Вторая точка пересечения: $(4, -4)$.

Таким образом, парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Схематический рисунок:

На рисунке синим цветом изображен график параболы $y = x^2 - 5x$, красным — график прямой $y = x - 8$. Зелеными точками отмечены их общие точки.

Ответ: $(2, -6)$, $(4, -4)$.

б) Даны прямая $y = 2x - 6$ и парабола $y = x^2 - 5$. Аналогично предыдущему пункту, приравняем правые части уравнений:

$2x - 6 = x^2 - 5$

Соберем все члены в одной части уравнения:

$x^2 - 2x - 5 + 6 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это выражение является полным квадратом разности:

$(x - 1)^2 = 0$

Уравнение имеет один корень (кратности 2):

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

Единственное значение абсциссы означает, что прямая не пересекает параболу, а касается ее в одной точке.

Найдем ординату ($y$) точки касания, подставив $x = 1$ в уравнение прямой $y = 2x - 6$:

$y = 2(1) - 6 = 2 - 6 = -4$

Координаты общей точки (точки касания): $(1, -4)$.

Схематический рисунок:

На рисунке синим цветом изображен график параболы $y = x^2 - 5$, красным — график прямой $y = 2x - 6$. Зеленой точкой отмечена их общая точка касания.

Ответ: $(1, -4)$.

Решите систему уравнений способом подстановки (№ 298–299):

298 a) $\begin{cases} y + 2x = 0, \\ 2x^2 + y^2 - 6y = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 10y^2 - 4x = x^2 - 8y, \\ 3y - x = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y = 3, \\ x^2 - xy - 2y^2 = 7; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y + 2x = 1, \\ x^2 + xy + y^2 = 7. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:

$\begin{cases} y + 2x = 0 \\ 2x^2 + y^2 - 6y = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = -2x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2x^2 + (-2x)^2 - 6(-2x) = 0$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$2x^2 + 4x^2 + 12x = 0$

$6x^2 + 12x = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $6x$ за скобки:

$6x(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда находим возможные значения для $x$:

$6x = 0 \implies x_1 = 0$

$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя подстановку $y = -2x$.

1) Если $x_1 = 0$, то $y_1 = -2 \cdot 0 = 0$. Получаем решение $(0, 0)$.

2) Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 \cdot (-2) = 4$. Получаем решение $(-2, 4)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(-2, 4)$.

б) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 10y^2 - 4x = x^2 - 8y \\ 3y - x = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 3y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$10y^2 - 4(3y) = (3y)^2 - 8y$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$10y^2 - 12y = 9y^2 - 8y$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$10y^2 - 9y^2 - 12y + 8y = 0$

$y^2 - 4y = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y - 4) = 0$

Отсюда находим возможные значения для $y$:

$y_1 = 0$

$y - 4 = 0 \implies y_2 = 4$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя подстановку $x = 3y$.

1) Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 3 \cdot 0 = 0$. Получаем решение $(0, 0)$.

2) Если $y_2 = 4$, то $x_2 = 3 \cdot 4 = 12$. Получаем решение $(12, 4)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(12, 4)$.

в) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 3 \\ x^2 - xy - 2y^2 = 7 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 3$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(y + 3)^2 - (y + 3)y - 2y^2 = 7$

Раскроем скобки и упростим:

$(y^2 + 6y + 9) - (y^2 + 3y) - 2y^2 = 7$

$y^2 + 6y + 9 - y^2 - 3y - 2y^2 = 7$

Приведем подобные члены:

$-2y^2 + 3y + 9 = 7$

$-2y^2 + 3y + 2 = 0$

Умножим уравнение на $-1$, чтобы сделать старший коэффициент положительным:

$2y^2 - 3y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. $a=2, b=-3, c=-2$.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя $x = y + 3$.

1) Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 3 = 5$. Получаем решение $(5, 2)$.

2) Если $y_2 = -0.5$, то $x_2 = -0.5 + 3 = 2.5$. Получаем решение $(2.5, -0.5)$.

Ответ: $(5, 2)$, $(2.5, -0.5)$.

г) Дана система уравнений:

$\begin{cases} y + 2x = 1 \\ x^2 + xy + y^2 = 7 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 1 - 2x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 + x(1 - 2x) + (1 - 2x)^2 = 7$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + x - 2x^2 + (1 - 4x + 4x^2) = 7$

$x^2 + x - 2x^2 + 1 - 4x + 4x^2 = 7$

Приведем подобные члены:

$(x^2 - 2x^2 + 4x^2) + (x - 4x) + 1 - 7 = 0$

$3x^2 - 3x - 6 = 0$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$, используя $y = 1 - 2x$.

1) Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 1 - 2 \cdot 2 = 1 - 4 = -3$. Получаем решение $(2, -3)$.

2) Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 1 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3$. Получаем решение $(-1, 3)$.

Ответ: $(2, -3)$, $(-1, 3)$.

299 Решите систему уравнений способом подстановки (№ 298–299):

а) $\begin{cases} xy = -4, \\ x^2 + y^2 = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 29, \\ xy = -10; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 14, \\ xy = 6. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:
$\begin{cases}xy = -4 \\x^2 + y^2 = 8\end{cases}$
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = -\frac{4}{x}$ (при условии, что $x \ne 0$).
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x^2 + (-\frac{4}{x})^2 = 8$
$x^2 + \frac{16}{x^2} = 8$
Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:
$x^4 + 16 = 8x^2$
$x^4 - 8x^2 + 16 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 8t + 16 = 0$
Это уравнение является полным квадратом:
$(t-4)^2 = 0$
Отсюда $t = 4$.
Вернемся к замене:
$x^2 = 4$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = -\frac{4}{2} = -2$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -\frac{4}{-2} = 2$.
Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(2, -2)$ и $(-2, 2)$.
Ответ: $(2, -2), (-2, 2)$.

б) Дана система уравнений:
$\begin{cases}x^2 + y^2 = 29 \\xy = -10\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = -\frac{10}{x}$ (при условии, что $x \ne 0$).
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + (-\frac{10}{x})^2 = 29$
$x^2 + \frac{100}{x^2} = 29$
Умножим обе части на $x^2$:
$x^4 + 100 = 29x^2$
$x^4 - 29x^2 + 100 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 29t + 100 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 - 400 = 441 = 21^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + 21}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - 21}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Оба корня положительны, поэтому оба подходят. Вернемся к замене:
1) $x^2 = 25 \implies x_1 = 5, x_2 = -5$.
2) $x^2 = 4 \implies x_3 = 2, x_4 = -2$.
Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$:
Если $x_1 = 5$, то $y_1 = -\frac{10}{5} = -2$.
Если $x_2 = -5$, то $y_2 = -\frac{10}{-5} = 2$.
Если $x_3 = 2$, то $y_3 = -\frac{10}{2} = -5$.
Если $x_4 = -2$, то $y_4 = -\frac{10}{-2} = 5$.
Решениями системы являются пары чисел: $(5, -2), (-5, 2), (2, -5), (-2, 5)$.
Ответ: $(5, -2), (-5, 2), (2, -5), (-2, 5)$.

в) Дана система уравнений:
$\begin{cases}2x^2 - y^2 = 14 \\xy = 6\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = \frac{6}{x}$ (при условии, что $x \ne 0$).
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x^2 - (\frac{6}{x})^2 = 14$
$2x^2 - \frac{36}{x^2} = 14$
Умножим обе части на $x^2$:
$2x^4 - 36 = 14x^2$
$2x^4 - 14x^2 - 36 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^4 - 7x^2 - 18 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 7t - 18 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1$ и $t_2$ удовлетворяют условиям $t_1 + t_2 = 7$ и $t_1 \cdot t_2 = -18$.
Подбором находим корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -2$.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Рассмотрим $t_1 = 9$.
Вернемся к замене:
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = \frac{6}{3} = 2$.
Если $x_2 = -3$, то $y_2 = \frac{6}{-3} = -2$.
Решениями системы являются пары чисел $(3, 2)$ и $(-3, -2)$.
Ответ: $(3, 2), (-3, -2)$.

300 Решите систему уравнений, воспользовавшись способом сложения:

а) $\begin{cases}x^2 + y^2 = 25, \\x^2 - y^2 = 7;\end{cases}$

б) $\begin{cases}xy - y = 1, \\xy + x = 4;\end{cases}$

в) $\begin{cases}xy + x^2 = 1, \\xy - x^2 = \frac{1}{2};\end{cases}$

г) $\begin{cases}x + y + xy = -6, \\x + y - xy = 10.\end{cases}$

а) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x^2 - y^2 = 7. \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы исключить $y^2$:

$(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 25 + 7$

$2x^2 = 32$

$x^2 = 16$

Отсюда находим значения $x$: $x_1 = 4$, $x_2 = -4$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $x^2$:

$(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 25 - 7$

$2y^2 = 18$

$y^2 = 9$

Отсюда находим значения $y$: $y_1 = 3$, $y_2 = -3$.

Каждое значение $x$ может сочетаться с каждым значением $y$, что дает нам четыре пары решений. Проверка показывает, что все они подходят.

Ответ: $(4; 3)$, $(4; -3)$, $(-4; 3)$, $(-4; -3)$.

б) $ \begin{cases} xy - y = 1, \\ xy + x = 4. \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить член $xy$:

$(xy + x) - (xy - y) = 4 - 1$

$x + y = 3$

Из полученного уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 3 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы $xy - y = 1$:

$x(3 - x) - (3 - x) = 1$

$3x - x^2 - 3 + x = 1$

Приведем подобные члены и перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$-x^2 + 4x - 4 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(x - 2)^2 = 0$

Отсюда $x = 2$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = 3 - x = 3 - 2 = 1$.

Ответ: $(2; 1)$.

в) $ \begin{cases} xy + x^2 = 1, \\ xy - x^2 = \frac{1}{2}. \end{cases} $

Сложим оба уравнения системы:

$(xy + x^2) + (xy - x^2) = 1 + \frac{1}{2}$

$2xy = \frac{3}{2}$

$xy = \frac{3}{4}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(xy + x^2) - (xy - x^2) = 1 - \frac{1}{2}$

$2x^2 = \frac{1}{2}$

$x^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $xy = \frac{3}{4}$, или $y = \frac{3}{4x}$.

При $x = \frac{1}{2}$: $y = \frac{3}{4 \cdot (\frac{1}{2})} = \frac{3}{2}$.

При $x = -\frac{1}{2}$: $y = \frac{3}{4 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$, $(-\frac{1}{2}; -\frac{3}{2})$.

г) $ \begin{cases} x + y + xy = -6, \\ x + y - xy = 10. \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения:

$(x + y + xy) + (x + y - xy) = -6 + 10$

$2(x + y) = 4$

$x + y = 2$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x + y + xy) - (x + y - xy) = -6 - 10$

$2xy = -16$

$xy = -8$

Мы получили новую, более простую систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 2, \\ xy = -8. \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставим найденные значения суммы и произведения:

$t^2 - 2t - 8 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать формулу для корней квадратного уравнения или разложить на множители. Найдем два числа, сумма которых равна $2$, а произведение равно $-8$. Это числа $4$ и $-2$.

Таким образом, корни уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.

Это означает, что решениями исходной системы являются пары чисел $(4; -2)$ и $(-2; 4)$.

Ответ: $(4; -2)$, $(-2; 4)$.

301 1) Разберите приём решения системы уравнений $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}, \\ x + y = 9: \end{cases}$

$\begin{cases} \frac{x+y}{xy} = \frac{1}{2}, \\ x + y = 9 \end{cases}$ – сложили дроби $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$;

$\begin{cases} \frac{9}{xy} = \frac{1}{2}, \\ x + y = 9 \end{cases}$ – подставили в первое уравнение значение суммы $x + y$;

$\begin{cases} xy = 18, \\ x + y = 9 \end{cases}$ – из первого уравнения нашли произведение $xy$.

Теперь можно воспользоваться способом подстановки. Закончите решение.

2) Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}, \\ x + y = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = 20, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{15}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}, \\ xy = -2. \end{cases}$

1) Нам дана система уравнений, сведенная к виду: $ \begin{cases} xy = 18 \\ x + y = 9 \end{cases} $ Воспользуемся способом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$: $y = 9 - x$. Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы: $x(9 - x) = 18$. Раскроем скобки: $9x - x^2 = 18$. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 - 9x + 18 = 0$. Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно 18. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 6$. Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя выражение $y = 9 - x$: 1. Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 9 - 3 = 6$. 2. Если $x_2 = 6$, то $y_2 = 9 - 6 = 3$. Таким образом, система имеет два решения в виде пар чисел $(x; y)$.
Ответ: $(3; 6)$, $(6; 3)$.

2) а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3} \\ x + y = 8 \end{cases} $ Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю: $\frac{x+y}{xy} = \frac{2}{3}$. Подставим в это уравнение значение $x+y=8$ из второго уравнения системы: $\frac{8}{xy} = \frac{2}{3}$. Из этой пропорции найдем произведение $xy$: $2 \cdot xy = 8 \cdot 3 \implies 2xy = 24 \implies xy = 12$. Теперь у нас есть новая, более простая система: $ \begin{cases} x+y = 8 \\ xy = 12 \end{cases} $ Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 8t + 12 = 0$. Корнями этого уравнения являются $t_1 = 2$ и $t_2 = 6$ (так как $2+6=8$ и $2 \cdot 6=12$). Следовательно, решениями системы являются пары чисел.
Ответ: $(2; 6)$, $(6; 2)$.

2) б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - y = 20 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{15} \end{cases} $ Преобразуем второе уравнение, приведя дроби к общему знаменателю: $\frac{y-x}{xy} = \frac{4}{15}$. Из первого уравнения мы знаем, что $x-y = 20$, следовательно $y-x = -(x-y) = -20$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение: $\frac{-20}{xy} = \frac{4}{15}$. Найдем произведение $xy$: $4 \cdot xy = -20 \cdot 15 \implies 4xy = -300 \implies xy = -75$. Получаем систему: $ \begin{cases} x - y = 20 \\ xy = -75 \end{cases} $ Из первого уравнения выразим $x$: $x = 20 + y$. Подставим это во второе уравнение: $(20+y)y = -75$. $y^2 + 20y + 75 = 0$. Решим это квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, $y_1+y_2 = -20$ и $y_1y_2 = 75$. Корни: $y_1 = -5$ и $y_2 = -15$. Найдем соответствующие значения $x$: 1. Если $y_1 = -5$, то $x_1 = 20 + (-5) = 15$. 2. Если $y_2 = -15$, то $x_2 = 20 + (-15) = 5$.
Ответ: $(15; -5)$, $(5; -15)$.

2) в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ xy = -2 \end{cases} $ Преобразуем первое уравнение: $\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{2}$. Подставим значение $xy = -2$ из второго уравнения: $\frac{x+y}{-2} = \frac{1}{2}$. Отсюда найдем сумму $x+y$: $x+y = -1$. Получаем систему: $ \begin{cases} x+y = -1 \\ xy = -2 \end{cases} $ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-1)t + (-2) = 0$, то есть $t^2 + t - 2 = 0$. Корнями этого уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$ (так как $1+(-2)=-1$ и $1 \cdot (-2)=-2$). Следовательно, решениями системы являются пары чисел.
Ответ: $(1; -2)$, $(-2; 1)$.

302 Решите систему уравнений, подобрав замену, приводящую данную систему к линейной:

а) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{3}{4}, \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15}, \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3}, \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{8}{x + y} + \frac{4}{x - y} = 3, \\ \frac{1}{x + y} - \frac{2}{x - y} = 1. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{3}{4} \end{cases} $$

Для того чтобы свести эту систему к линейной, введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. С учетом этой замены система примет вид:

$$ \begin{cases} u + v = \frac{1}{4} \\ u - v = -\frac{3}{4} \end{cases} $$

Теперь у нас есть система линейных уравнений относительно переменных $u$ и $v$. Решим ее методом сложения. Сложим первое уравнение со вторым:

$(u + v) + (u - v) = \frac{1}{4} + (-\frac{3}{4})$

$2u = \frac{1-3}{4}$

$2u = -\frac{2}{4}$

$2u = -\frac{1}{2}$

$u = -\frac{1}{4}$

Теперь подставим найденное значение $u$ в первое уравнение системы, чтобы найти $v$:

$-\frac{1}{4} + v = \frac{1}{4}$

$v = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

$v = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Мы нашли значения для $u$ и $v$. Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

Так как $u = \frac{1}{x}$, то $x = \frac{1}{u} = \frac{1}{-1/4} = -4$.

Так как $v = \frac{1}{y}$, то $y = \frac{1}{v} = \frac{1}{1/2} = 2$.

Решением системы является пара чисел $(-4, 2)$.

Ответ: $(-4; 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15} \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Введем замену переменных, чтобы упростить систему. Пусть $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. Тогда исходная система преобразуется в следующую линейную систему:

$$ \begin{cases} 4u + v = \frac{1}{15} \\ 2u - v = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Решим эту систему методом сложения. Сложим два уравнения:

$(4u + v) + (2u - v) = \frac{1}{15} + \frac{1}{3}$

$6u = \frac{1}{15} + \frac{5}{15}$

$6u = \frac{6}{15}$

$6u = \frac{2}{5}$

$u = \frac{2}{5 \cdot 6} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

Подставим значение $u$ во второе уравнение системы, чтобы найти $v$:

$2(\frac{1}{15}) - v = \frac{1}{3}$

$\frac{2}{15} - v = \frac{5}{15}$

$-v = \frac{5}{15} - \frac{2}{15}$

$-v = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

$v = -\frac{1}{5}$

Теперь выполним обратную замену:

$x = \frac{1}{u} = \frac{1}{1/15} = 15$.

$y = \frac{1}{v} = \frac{1}{-1/5} = -5$.

Решением системы является пара чисел $(15, -5)$.

Ответ: $(15; -5)$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{8}{x+y} + \frac{4}{x-y} = 3 \\ \frac{1}{x+y} - \frac{2}{x-y} = 1 \end{cases} $$

Чтобы привести систему к линейному виду, сделаем замену. Пусть $u = \frac{1}{x+y}$ и $v = \frac{1}{x-y}$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} 8u + 4v = 3 \\ u - 2v = 1 \end{cases} $$

Решим полученную систему. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $v$ стали противоположными:

$2(u - 2v) = 2 \cdot 1 \implies 2u - 4v = 2$

Теперь сложим первое уравнение с полученным новым уравнением:

$(8u + 4v) + (2u - 4v) = 3 + 2$

$10u = 5$

$u = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Подставим значение $u$ во второе уравнение исходной линейной системы ($u - 2v = 1$):

$\frac{1}{2} - 2v = 1$

$-2v = 1 - \frac{1}{2}$

$-2v = \frac{1}{2}$

$v = -\frac{1}{4}$

Теперь выполним обратную замену. Мы получили новую систему уравнений для $x$ и $y$:

$\frac{1}{x+y} = u \implies \frac{1}{x+y} = \frac{1}{2} \implies x+y = 2$.

$\frac{1}{x-y} = v \implies \frac{1}{x-y} = -\frac{1}{4} \implies x-y = -4$.

Получилась система линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x+y = 2 \\ x-y = -4 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 2 + (-4)$

$2x = -2$

$x = -1$

Подставим значение $x$ в первое уравнение этой системы ($x+y=2$):

$-1 + y = 2$

$y = 3$

Решением системы является пара чисел $(-1, 3)$.

Ответ: $(-1; 3)$.

303 Решите систему уравнений, используя замену $x + y = a, x - y = b: $

a) $ \begin{cases} x + y = 4(x - y), \\ x^2 - y^2 = 16; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2x - 2y = x + y, \\ x^2 - y^2 = 8; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 3(x - y) = x + y, \\ \frac{x^2 - y^2}{3} = 1; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 10, \\ 2(x + y) = 5(x - y). \end{cases} $