Номер 299, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 299, страница 110.

299 Решите систему уравнений способом подстановки (№ 298–299):

а) $\begin{cases} xy = -4, \\ x^2 + y^2 = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 29, \\ xy = -10; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 14, \\ xy = 6. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:
$\begin{cases}xy = -4 \\x^2 + y^2 = 8\end{cases}$
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = -\frac{4}{x}$ (при условии, что $x \ne 0$).
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x^2 + (-\frac{4}{x})^2 = 8$
$x^2 + \frac{16}{x^2} = 8$
Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:
$x^4 + 16 = 8x^2$
$x^4 - 8x^2 + 16 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 8t + 16 = 0$
Это уравнение является полным квадратом:
$(t-4)^2 = 0$
Отсюда $t = 4$.
Вернемся к замене:
$x^2 = 4$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = -\frac{4}{2} = -2$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -\frac{4}{-2} = 2$.
Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(2, -2)$ и $(-2, 2)$.
Ответ: $(2, -2), (-2, 2)$.

б) Дана система уравнений:
$\begin{cases}x^2 + y^2 = 29 \\xy = -10\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = -\frac{10}{x}$ (при условии, что $x \ne 0$).
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + (-\frac{10}{x})^2 = 29$
$x^2 + \frac{100}{x^2} = 29$
Умножим обе части на $x^2$:
$x^4 + 100 = 29x^2$
$x^4 - 29x^2 + 100 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 29t + 100 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 - 400 = 441 = 21^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + 21}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - 21}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Оба корня положительны, поэтому оба подходят. Вернемся к замене:
1) $x^2 = 25 \implies x_1 = 5, x_2 = -5$.
2) $x^2 = 4 \implies x_3 = 2, x_4 = -2$.
Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$:
Если $x_1 = 5$, то $y_1 = -\frac{10}{5} = -2$.
Если $x_2 = -5$, то $y_2 = -\frac{10}{-5} = 2$.
Если $x_3 = 2$, то $y_3 = -\frac{10}{2} = -5$.
Если $x_4 = -2$, то $y_4 = -\frac{10}{-2} = 5$.
Решениями системы являются пары чисел: $(5, -2), (-5, 2), (2, -5), (-2, 5)$.
Ответ: $(5, -2), (-5, 2), (2, -5), (-2, 5)$.

в) Дана система уравнений:
$\begin{cases}2x^2 - y^2 = 14 \\xy = 6\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = \frac{6}{x}$ (при условии, что $x \ne 0$).
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x^2 - (\frac{6}{x})^2 = 14$
$2x^2 - \frac{36}{x^2} = 14$
Умножим обе части на $x^2$:
$2x^4 - 36 = 14x^2$
$2x^4 - 14x^2 - 36 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^4 - 7x^2 - 18 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 7t - 18 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1$ и $t_2$ удовлетворяют условиям $t_1 + t_2 = 7$ и $t_1 \cdot t_2 = -18$.
Подбором находим корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -2$.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Рассмотрим $t_1 = 9$.
Вернемся к замене:
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = \frac{6}{3} = 2$.
Если $x_2 = -3$, то $y_2 = \frac{6}{-3} = -2$.
Решениями системы являются пары чисел $(3, 2)$ и $(-3, -2)$.
Ответ: $(3, 2), (-3, -2)$.