Номер 304, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 304, страница 111.

304 1) Постройте в одной системе координат прямую, которую образуют биссектрисы I и III координатных четвертей, и окружность с центром в начале координат и с радиусом, равным 3. Найдите по рисунку приближённо координаты точек их пересечения.

2) Вычислите точные координаты точек пересечения, составив и решив систему уравнений.

3) Укажите точные и приближённые координаты точек пересечения этой же окружности с прямой, образованной биссектрисами II и IV координатных четвертей.

1) Постройте в одной системе координат прямую, которую образуют биссектрисы I и III координатных четвертей, и окружность с центром в начале координат и с радиусом, равным 3. Найдите по рисунку приближённо координаты точек их пересечения.

Прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей, задается уравнением $y = x$. Это означает, что для любой точки на этой прямой абсцисса (координата $x$) равна ординате (координата $y$).

Окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$ задается уравнением $x^2 + y^2 = R^2$. Согласно условию, радиус $R = 3$, следовательно, уравнение нашей окружности: $x^2 + y^2 = 3^2$, или $x^2 + y^2 = 9$.

Для построения графика начертим систему координат. Окружность с центром в $(0,0)$ и радиусом 3 будет проходить через точки $(3, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(0, -3)$. Прямая $y=x$ пройдет через начало координат $(0,0)$ и, например, точки $(1, 1)$, $(2, 2)$, $(-1, -1)$ и $(-2, -2)$.

На графике видно, что прямая и окружность пересекаются в двух точках: одна в I четверти (где $x > 0, y > 0$) и другая в III четверти (где $x < 0, y < 0$). Визуально оценивая их положение, можно сказать, что координаты этих точек приблизительно $(2,1; 2,1)$ и $(-2,1; -2,1)$.

Ответ: Приближённые координаты точек пересечения: $(2,1; 2,1)$ и $(-2,1; -2,1)$.

2) Вычислите точные координаты точек пересечения, составив и решив систему уравнений.

Чтобы найти точные координаты точек пересечения, нужно решить систему уравнений, описывающих данную прямую и окружность:

$\begin{cases} y = x \\ x^2 + y^2 = 9 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x^2 + (x)^2 = 9$

$2x^2 = 9$

$x^2 = \frac{9}{2}$

Отсюда находим возможные значения для $x$:

$x = \pm\sqrt{\frac{9}{2}} = \pm\frac{3}{\sqrt{2}} = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Поскольку $y = x$, то значения $y$ будут такими же, как и соответствующие значения $x$. Таким образом, мы получаем две точки пересечения.

Ответ: Точные координаты точек пересечения: $(\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2})$.

3) Укажите точные и приближённые координаты точек пересечения этой же окружности с прямой, образованной биссектрисами II и IV координатных четвертей.

Прямая, которая является биссектрисой II и IV координатных четвертей, задается уравнением $y = -x$. Окружность остается прежней: $x^2 + y^2 = 9$.

Составим и решим систему уравнений для нахождения точных координат:

$\begin{cases} y = -x \\ x^2 + y^2 = 9 \end{cases}$

Подставим $y = -x$ в уравнение окружности:

$x^2 + (-x)^2 = 9$

$x^2 + x^2 = 9$

$2x^2 = 9$

$x^2 = \frac{9}{2}$

$x = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = -x$:

Если $x_1 = \frac{3\sqrt{2}}{2}$, то $y_1 = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Это точка в IV четверти.

Если $x_2 = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$, то $y_2 = -(-\frac{3\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Это точка во II четверти.

Точные координаты точек пересечения: $(\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2})$.

Для нахождения приближённых координат, используем значение $\sqrt{2} \approx 1,414$:

$\frac{3\sqrt{2}}{2} \approx \frac{3 \times 1,414}{2} = \frac{4,242}{2} = 2,121 \approx 2,12$.

Таким образом, приближённые координаты: $(2,12; -2,12)$ и $(-2,12; 2,12)$.

Ответ: Точные координаты: $(\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2})$. Приближённые координаты: $(2,12; -2,12)$ и $(-2,12; 2,12)$.