Номер 311, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.8 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 311, страница 113.

311 Стройплощадка имеет форму прямоугольника. Длина ограждения вокруг стройплощадки 120 м, а её площадь равна 800 $m^2$. Найдите стороны стройплощадки.

Пусть стороны прямоугольной стройплощадки равны a и b метров.

Длина ограждения вокруг стройплощадки — это её периметр. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$. Согласно условию задачи, периметр равен 120 м. Составим первое уравнение: $2(a + b) = 120$

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$. Согласно условию, площадь равна 800 м². Составим второе уравнение: $a \cdot b = 800$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} 2(a + b) = 120 \\ a \cdot b = 800 \end{cases} $$

Решим эту систему. Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2: $a + b = 60$

Теперь система уравнений выглядит следующим образом: $$ \begin{cases} a + b = 60 \\ a \cdot b = 800 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим одну переменную через другую, например, выразим b: $b = 60 - a$

Теперь подставим полученное выражение для b во второе уравнение системы: $a \cdot (60 - a) = 800$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $60a - a^2 = 800$ $-a^2 + 60a - 800 = 0$ $a^2 - 60a + 800 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 800 = 3600 - 3200 = 400$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их: $a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{60 + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{60 + 20}{2} = \frac{80}{2} = 40$ $a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{60 - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{60 - 20}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Мы получили два возможных значения для стороны a. Теперь найдем соответствующие значения для стороны b:

1. Если $a_1 = 40$ м, то $b_1 = 60 - a_1 = 60 - 40 = 20$ м.

2. Если $a_2 = 20$ м, то $b_2 = 60 - a_2 = 60 - 20 = 40$ м.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 20 м и 40 м.

Проверим решение: Периметр: $P = 2(20 + 40) = 2 \cdot 60 = 120$ м. Площадь: $S = 20 \cdot 40 = 800$ м². Расчеты верны.

Ответ: стороны стройплощадки равны 20 м и 40 м.