Номер 314, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.8 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 314, страница 113.

314 Спортивная площадка прямоугольной формы занимает площадь, равную 600 $м^2$. Когда вокруг неё проложили дорожку шириной в 1 м, то площадка вместе с дорожкой стала занимать площадь 704 $м^2$. Найдите размеры площадки.

Обозначим длину и ширину прямоугольной спортивной площадки как $L$ и $W$ соответственно.

По условию, площадь спортивной площадки равна 600 м². Площадь прямоугольника — это произведение его длины на ширину. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$S_{площадки} = L \times W = 600$

Вокруг площадки была проложена дорожка шириной 1 м. Это означает, что размеры нового, большего прямоугольника (площадка вместе с дорожкой) увеличились. Новая длина стала $L + 1 + 1 = L + 2$ метра, а новая ширина стала $W + 1 + 1 = W + 2$ метра, так как дорожка добавляет по 1 метру с каждой из двух противоположных сторон.

Общая площадь площадки вместе с дорожкой составляет 704 м². Составим второе уравнение, используя новые, увеличенные размеры:

$S_{общая} = (L + 2) \times (W + 2) = 704$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} L \times W = 600 \\ (L + 2)(W + 2) = 704 \end{cases}$

Раскроем скобки во втором уравнении системы:

$L \times W + 2L + 2W + 4 = 704$

Из первого уравнения мы знаем, что $L \times W = 600$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$600 + 2L + 2W + 4 = 704$

Теперь решим это уравнение относительно $L$ и $W$:

$604 + 2L + 2W = 704$

$2L + 2W = 704 - 604$

$2L + 2W = 100$

Разделим обе части уравнения на 2:

$L + W = 50$

Теперь наша система уравнений выглядит значительно проще:

$\begin{cases} L + W = 50 \\ L \times W = 600 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим одну переменную через другую, например, $L$:

$L = 50 - W$

Подставим это выражение для $L$ во второе уравнение:

$(50 - W) \times W = 600$

$50W - W^2 = 600$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$W^2 - 50W + 600 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \times 1 \times 600 = 2500 - 2400 = 100$

Теперь найдем корни уравнения, которые будут возможными значениями для ширины $W$:

$W_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 + \sqrt{100}}{2} = \frac{50 + 10}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$W_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 - \sqrt{100}}{2} = \frac{50 - 10}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Мы получили два возможных значения для одной из сторон. Найдем соответствующие значения для второй стороны, используя соотношение $L = 50 - W$:

1. Если ширина $W = 30$ м, то длина $L = 50 - 30 = 20$ м.

2. Если ширина $W = 20$ м, то длина $L = 50 - 20 = 30$ м.

Оба случая приводят к одному и тому же набору размеров для площадки: 20 метров и 30 метров.

Проверка:

Площадь площадки: $20 \text{ м} \times 30 \text{ м} = 600 \text{ м}^2$. (Соответствует условию)

Размеры с дорожкой: $(20+2) \text{ м} \times (30+2) \text{ м} = 22 \text{ м} \times 32 \text{ м} = 704 \text{ м}^2$. (Соответствует условию)

Ответ: Размеры спортивной площадки — 20 м и 30 м.