Номер 318, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.8 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 318, страница 113.

318 На отрезке $AB$ как на диаметре построена полуокружность. Её радиус равен 10 см. Найдите на полуокружности точку $C$, такую, чтобы расстояние от этой точки до одного из концов диаметра было на 4 см больше, чем расстояние от этой точки до другого из концов диаметра. Сколько решений имеет задача? (Сделайте рисунок.)

Дано:
Полуокружность построена на отрезке $AB$ как на диаметре.
Радиус полуокружности $R = 10$ см.
Точка $C$ лежит на полуокружности.
$|AC - BC| = 4$ см.

Рисунок:

Решение:
Так как точка $C$ лежит на полуокружности с диаметром $AB$, то треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным, поскольку вписанный угол $\angle ACB$ опирается на диаметр. Следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$.
Длина диаметра $AB$ равна двум радиусам: $AB = 2R = 2 \cdot 10 = 20$ см.
К прямоугольному треугольнику $\triangle ABC$ применим теорему Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$ $AC^2 + BC^2 = 20^2$ $AC^2 + BC^2 = 400$
По условию задачи, расстояние от точки $C$ до одного из концов диаметра на 4 см больше, чем до другого. Рассмотрим два возможных случая.

1. Расстояние до точки A на 4 см больше, чем до точки B.
Пусть $BC = x$ см, тогда $AC = x + 4$ см. Подставим эти значения в уравнение теоремы Пифагора: $(x + 4)^2 + x^2 = 400$ $x^2 + 8x + 16 + x^2 = 400$ $2x^2 + 8x - 384 = 0$ $x^2 + 4x - 192 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$. $\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$.
Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12$ $x_2 = \frac{-4 - 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16$
Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то подходит только корень $x=12$. Следовательно, $BC = 12$ см, а $AC = 12 + 4 = 16$ см.

2. Расстояние до точки B на 4 см больше, чем до точки A.
Пусть $AC = y$ см, тогда $BC = y + 4$ см. Подставим эти значения в уравнение теоремы Пифагора: $y^2 + (y + 4)^2 = 400$ $y^2 + y^2 + 8y + 16 = 400$ $2y^2 + 8y - 384 = 0$ $y^2 + 4y - 192 = 0$
Это уравнение аналогично предыдущему. Его положительный корень $y = 12$. Следовательно, $AC = 12$ см, а $BC = 12 + 4 = 16$ см.

Вывод:
Задача имеет два решения, то есть существуют две точки на полуокружности, удовлетворяющие условию. Эти точки ($C_1$ и $C_2$) симметричны относительно прямой, проходящей через центр окружности перпендикулярно диаметру $AB$.
В обоих случаях искомые расстояния от точки $C$ до концов диаметра равны 12 см и 16 см.

Ответ: Задача имеет два решения. Искомые расстояния от точки C до концов диаметра равны 12 см и 16 см.