Номер 321, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.8 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 321, страница 113.

321 Расстояние между пунктами А и В равно 15 км. Два велосипедиста одновременно выехали из этих пунктов навстречу друг другу, встретились через 30 мин и, не останавливаясь, продолжили путь. Один из велосипедистов прибыл в пункт В на 25 мин раньше, чем другой — в пункт А. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого велосипедиста (выехавшего из пункта А), а $v_2$ (км/ч) — скорость второго велосипедиста (выехавшего из пункта В).

Для решения задачи необходимо перевести все единицы времени в часы.
Время до встречи: $30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$.
Разница во времени прибытия: $25 \text{ мин} = \frac{25}{60} \text{ ч} = \frac{5}{12} \text{ ч}$.

Велосипедисты движутся навстречу друг другу. Скорость их сближения равна сумме их скоростей $v_1 + v_2$. До момента встречи они вместе преодолели все расстояние $S = 15$ км.
Составим первое уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:
$S = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$
$15 = (v_1 + v_2) \cdot 0.5$
$v_1 + v_2 = \frac{15}{0.5}$
$v_1 + v_2 = 30$

Теперь рассмотрим второе условие. Время, которое затратил первый велосипедист на весь путь из А в В, равно $T_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{15}{v_1}$ ч.
Время, которое затратил второй велосипедист на весь путь из В в А, равно $T_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{15}{v_2}$ ч.

Один из велосипедистов прибыл в пункт назначения на 25 минут ($\frac{5}{12}$ часа) раньше другого. Это означает, что один из них был быстрее. Допустим, что первый велосипедист был быстрее, то есть $v_1 > v_2$, следовательно, его время в пути $T_1$ меньше, чем $T_2$.
Разница во времени составляет:
$T_2 - T_1 = \frac{5}{12}$
$\frac{15}{v_2} - \frac{15}{v_1} = \frac{5}{12}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = 30 \\ \frac{15}{v_2} - \frac{15}{v_1} = \frac{5}{12} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$:
$v_2 = 30 - v_1$

Подставим это выражение во второе уравнение. Перед этим можно упростить второе уравнение, разделив обе его части на 5:
$\frac{3}{v_2} - \frac{3}{v_1} = \frac{1}{12}$
Подставляем $v_2 = 30 - v_1$:
$\frac{3}{30 - v_1} - \frac{3}{v_1} = \frac{1}{12}$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{3v_1 - 3(30 - v_1)}{v_1(30 - v_1)} = \frac{1}{12}$
$\frac{3v_1 - 90 + 3v_1}{30v_1 - v_1^2} = \frac{1}{12}$
$\frac{6v_1 - 90}{30v_1 - v_1^2} = \frac{1}{12}$
Используя свойство пропорции, получаем:
$12(6v_1 - 90) = 1 \cdot (30v_1 - v_1^2)$
$72v_1 - 1080 = 30v_1 - v_1^2$
$v_1^2 + 72v_1 - 30v_1 - 1080 = 0$
$v_1^2 + 42v_1 - 1080 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 42^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1080) = 1764 + 4320 = 6084$
$\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$
Найдем корни уравнения:
$v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-42 + 78}{2} = \frac{36}{2} = 18$
$v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-42 - 78}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, единственным подходящим решением является $v_1 = 18$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго велосипедиста:
$v_2 = 30 - v_1 = 30 - 18 = 12$ км/ч.

Наше предположение, что $v_1 > v_2$ (18 > 12), оказалось верным.

Ответ: скорость одного велосипедиста 18 км/ч, а скорость другого — 12 км/ч.