Номер 320, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.8 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 320, страница 113.

320 Можно ли в круг радиуса 12,5 см вписать прямоугольник площадью $168 \text{ см}^2$?

Для того чтобы прямоугольник был вписан в круг, все его вершины должны лежать на окружности. В этом случае диагональ прямоугольника совпадает с диаметром круга.

Найдем диаметр $d$ круга с радиусом $R = 12,5$ см:

$d = 2R = 2 \cdot 12,5 = 25$ см.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Согласно теореме Пифагора, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон:

$a^2 + b^2 = d^2 = 25^2 = 625$.

Площадь прямоугольника $S$ задана по условию:

$S = a \cdot b = 168$ см².

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы определить, существует ли прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, удовлетворяющий системе уравнений:

$ \begin{cases} a \cdot b = 168 \\ a^2 + b^2 = 625 \end{cases} $

Для решения этой системы воспользуемся формулами сокращенного умножения. Найдем сумму и разность сторон $a$ и $b$.

Квадрат суммы сторон:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab = 625 + 2 \cdot 168 = 625 + 336 = 961$.

Отсюда сумма сторон (так как стороны - положительные величины):

$a+b = \sqrt{961} = 31$.

Квадрат разности сторон:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) - 2ab = 625 - 2 \cdot 168 = 625 - 336 = 289$.

Отсюда модуль разности сторон:

$|a-b| = \sqrt{289} = 17$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений (предположим, что $a > b$, тогда $a-b=17$):

$ \begin{cases} a + b = 31 \\ a - b = 17 \end{cases} $

Сложив два уравнения, получим:

$2a = 31 + 17 = 48 \Rightarrow a = 24$ см.

Подставив значение $a$ в первое уравнение, найдем $b$:

$24 + b = 31 \Rightarrow b = 31 - 24 = 7$ см.

Мы нашли реальные положительные значения для сторон прямоугольника ($a=24$ см и $b=7$ см), которые удовлетворяют заданным условиям. Проверим:

Площадь: $S = 24 \cdot 7 = 168$ см².

Сумма квадратов сторон: $a^2 + b^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625 = 25^2$.

Поскольку существует такой прямоугольник, значит, его можно вписать в заданный круг.

Ответ: да, можно.