Номер 316, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.8 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 316, страница 113.

316 В аудитории расставили одинаковыми рядами 84 стула. Затем добавили 36 стульев и при этом сделали перестановку: в каждом ряду уменьшили число стульев на 2, но увеличили число рядов на 4. Сколько рядов и сколько стульев в каждом ряду было в аудитории первоначально?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $r$ — первоначальное количество рядов, а $c$ — первоначальное количество стульев в каждом ряду.

Изначально в аудитории было 84 стула, расставленных одинаковыми рядами. Это можно записать в виде уравнения:

$r \cdot c = 84$

Затем добавили 36 стульев. Общее количество стульев стало:

$84 + 36 = 120$

После перестановки количество рядов увеличилось на 4 (стало $r+4$), а количество стульев в каждом ряду уменьшилось на 2 (стало $c-2$). Новое расположение стульев можно описать вторым уравнением:

$(r + 4) \cdot (c - 2) = 120$

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} r \cdot c = 84 \\ (r + 4)(c - 2) = 120\end{cases}$

Из первого уравнения выразим переменную $c$ через $r$:

$c = \frac{84}{r}$

Подставим это выражение для $c$ во второе уравнение системы:

$(r + 4) \cdot (\frac{84}{r} - 2) = 120$

Теперь решим это уравнение относительно $r$. Раскроем скобки:

$r \cdot \frac{84}{r} - 2 \cdot r + 4 \cdot \frac{84}{r} - 4 \cdot 2 = 120$

$84 - 2r + \frac{336}{r} - 8 = 120$

Приведем подобные слагаемые:

$76 - 2r + \frac{336}{r} = 120$

Перенесем 120 в левую часть уравнения:

$-44 - 2r + \frac{336}{r} = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $r$ (поскольку количество рядов $r$ не может быть равно нулю):

$-44r - 2r^2 + 336 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на -2 и расположим их в стандартном порядке для квадратного уравнения:

$r^2 + 22r - 168 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 484 + 672 = 1156$

Найдем корни уравнения:

$r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 \pm \sqrt{1156}}{2} = \frac{-22 \pm 34}{2}$

$r_1 = \frac{-22 + 34}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$r_2 = \frac{-22 - 34}{2} = \frac{-56}{2} = -28$

Так как количество рядов $r$ является положительной величиной, нам подходит только корень $r = 6$.

Теперь найдем первоначальное количество стульев в ряду $c$, подставив значение $r$ в первое уравнение:

$c = \frac{84}{r} = \frac{84}{6} = 14$

Таким образом, первоначально в аудитории было 6 рядов по 14 стульев в каждом.

Ответ: первоначально было 6 рядов и 14 стульев в каждом ряду.