Номер 313, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.8 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 313, страница 113.

313 Одна из сторон прямоугольника на 2 см короче другой, а его диагональ равна 10 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть одна из сторон прямоугольника равна $x$ см. Поскольку другая сторона на 2 см короче, ее длина будет $(x - 2)$ см. Важно отметить, что длина стороны должна быть положительным числом, поэтому $x > 2$.

Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник, в котором стороны являются катетами, а диагональ — гипотенузой. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Применим теорему Пифагора к нашему прямоугольнику, подставив длины сторон и диагонали: $x^2 + (x - 2)^2 = 10^2$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки: $x^2 + x^2 - 4x + 4 = 100$

Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $2x^2 - 4x + 4 - 100 = 0$ $2x^2 - 4x - 96 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2: $x^2 - 2x - 48 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$ $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$

Вычислим значения $x$: $x_1 = \frac{-(-2) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$ $x_2 = \frac{-(-2) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -6$ не является решением задачи. Следовательно, одна сторона прямоугольника равна 8 см.

Тогда вторая сторона равна: $x - 2 = 8 - 2 = 6$ см.

Проверка: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Диагональ равна $\sqrt{100} = 10$ см, что соответствует условию.

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.