Номер 315, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.8 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 315, страница 113.

315 Пароход прошёл 100 км по течению реки и 64 км против течения за 9 ч. В другой раз за то же время он прошёл 80 км против течения реки и вернулся обратно. Определите скорость парохода в стоячей воде и скорость течения.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_п$ — собственная скорость парохода в стоячей воде (в км/ч), а $v_т$ — скорость течения реки (в км/ч).

Тогда скорость парохода по течению реки равна $v_п + v_т$ км/ч, а скорость против течения — $v_п - v_т$ км/ч.

Исходя из условия задачи, составим систему уравнений. Время находится по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Первое условие: пароход прошёл 100 км по течению и 64 км против течения за 9 часов.
Уравнение: $\frac{100}{v_п + v_т} + \frac{64}{v_п - v_т} = 9$.

Второе условие: за то же время (9 часов) он прошёл 80 км против течения и вернулся обратно (т.е. 80 км по течению).
Уравнение: $\frac{80}{v_п - v_т} + \frac{80}{v_п + v_т} = 9$.

Получили систему уравнений. Для удобства решения введем новые переменные:
Пусть $x = v_п + v_т$ (скорость по течению) и $y = v_п - v_т$ (скорость против течения).
Система примет вид:
$\begin{cases} \frac{100}{x} + \frac{64}{y} = 9 \\ \frac{80}{x} + \frac{80}{y} = 9 \end{cases}$

Решим эту систему. Из второго уравнения можно выразить $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$:
$80(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 9 \implies \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{80}$.
Выразим $\frac{1}{x}$ через $\frac{1}{y}$: $\frac{1}{x} = \frac{9}{80} - \frac{1}{y}$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$100(\frac{9}{80} - \frac{1}{y}) + \frac{64}{y} = 9$
$\frac{900}{80} - \frac{100}{y} + \frac{64}{y} = 9$
$\frac{90}{8} - \frac{36}{y} = 9$
$11.25 - \frac{36}{y} = 9$
$\frac{36}{y} = 11.25 - 9$
$\frac{36}{y} = 2.25$
$y = \frac{36}{2.25} = 16$.

Теперь найдем $x$, используя выражение $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{80}$:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{16} = \frac{9}{80}$
$\frac{1}{x} = \frac{9}{80} - \frac{1}{16} = \frac{9}{80} - \frac{5}{80} = \frac{4}{80} = \frac{1}{20}$
$x = 20$.

Мы нашли скорость по течению $x = 20$ км/ч и скорость против течения $y = 16$ км/ч. Теперь вернемся к исходным переменным $v_п$ и $v_т$:
$\begin{cases} v_п + v_т = 20 \\ v_п - v_т = 16 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:
$(v_п + v_т) + (v_п - v_т) = 20 + 16$
$2v_п = 36$
$v_п = 18$.

Теперь найдем $v_т$, подставив $v_п = 18$ в первое уравнение:
$18 + v_т = 20$
$v_т = 2$.

Ответ: скорость парохода в стоячей воде — 18 км/ч, скорость течения — 2 км/ч.