Номер 322, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.8 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 322, страница 113.

322 МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС

Дорога от дома до школы состоит из двух участков: 300 м подъёма и 600 м спуска. Олег заметил, что дорога от дома до школы занимает у него 16 мин, а обратная дорога — 17 мин. С какой скоростью он идёт на подъёме и с какой — на спуске?

Для решения этой задачи введём переменные и составим систему уравнений. Пусть $v_п$ — это скорость Олега на подъёме в метрах в минуту (м/мин), а $v_с$ — его скорость на спуске (м/мин).

Основная формула, которую мы будем использовать: время = расстояние / скорость ($t = \frac{S}{v}$).

1. Путь от дома до школы.

Путь состоит из 300 м подъёма и 600 м спуска. Общее время в пути — 16 минут. Время, затраченное на подъём, равно $\frac{300}{v_п}$, а на спуск — $\frac{600}{v_с}$. Составим первое уравнение:

$\frac{300}{v_п} + \frac{600}{v_с} = 16$

2. Путь от школы до дома.

На обратном пути участок, который был спуском (600 м), становится подъёмом, а участок, который был подъёмом (300 м), — спуском. Этот путь Олег проходит за 17 минут. Составляем второе уравнение:

$\frac{600}{v_п} + \frac{300}{v_с} = 17$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$\begin{cases}\frac{300}{v_п} + \frac{600}{v_с} = 16 \\\frac{600}{v_п} + \frac{300}{v_с} = 17\end{cases}$$

Для удобства решения введём замену переменных. Пусть $x = \frac{1}{v_п}$ и $y = \frac{1}{v_с}$. Система примет вид:

$$\begin{cases}300x + 600y = 16 \\600x + 300y = 17\end{cases}$$

Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали одинаковыми, и затем вычтем первое уравнение из полученного:

$2 \cdot (600x + 300y) = 2 \cdot 17 \implies 1200x + 600y = 34$

Теперь выполним вычитание:

$(1200x + 600y) - (300x + 600y) = 34 - 16$

$900x = 18$

$x = \frac{18}{900} = \frac{1}{50}$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение ($300x + 600y = 16$):

$300 \cdot (\frac{1}{50}) + 600y = 16$

$6 + 600y = 16$

$600y = 10$

$y = \frac{10}{600} = \frac{1}{60}$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти искомые скорости $v_п$ и $v_с$:

$v_п = \frac{1}{x} = \frac{1}{1/50} = 50$ м/мин.

$v_с = \frac{1}{y} = \frac{1}{1/60} = 60$ м/мин.

4. Проверка.

Проверим полученные результаты, подставив их в условия задачи.

Время до школы: $\frac{300}{50} + \frac{600}{60} = 6 \text{ мин} + 10 \text{ мин} = 16$ минут. (Верно)

Время до дома: $\frac{600}{50} + \frac{300}{60} = 12 \text{ мин} + 5 \text{ мин} = 17$ минут. (Верно)

Ответ: Скорость Олега на подъёме — 50 м/мин, на спуске — 60 м/мин.