Номер 326, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.9 Графическое решение уравнений с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 326, страница 116.

326 С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение, и найдите эти корни:

а) $x^2 = 1,5x + 1$;

б) $x^3 = 2 - x$;

в) $x^2 - 1 = \frac{8}{x}$.

а) $x^2 = 1.5x + 1$

Чтобы решить уравнение графически, представим его в виде равенства двух функций $f(x) = g(x)$. Построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = 1.5x + 1$. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. Построение графика функции $y = x^2$.
Это стандартная парабола, вершина которой находится в начале координат (0,0), а ветви направлены вверх. Составим таблицу значений:

• при $x = -2$, $y = 4$
• при $x = -1$, $y = 1$
• при $x = -0.5$, $y = 0.25$
• при $x = 0$, $y = 0$
• при $x = 1$, $y = 1$
• при $x = 2$, $y = 4$

2. Построение графика функции $y = 1.5x + 1$.
Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения достаточно двух точек:

• при $x = 0$, $y = 1.5 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• при $x = 2$, $y = 1.5 \cdot 2 + 1 = 3 + 1 = 4$. Точка $(2; 4)$.

3. Нахождение точек пересечения.
Построим оба графика в одной системе координат. Мы видим, что графики пересекаются в двух точках. Из графика и таблицы значений видно, что одна точка пересечения имеет координаты $(2; 4)$. Проверим вторую предполагаемую точку с абсциссой $x = -0.5$:
Для параболы: $y = (-0.5)^2 = 0.25$.
Для прямой: $y = 1.5 \cdot (-0.5) + 1 = -0.75 + 1 = 0.25$.
Координаты второй точки пересечения $(-0.5; 0.25)$.

Таким образом, уравнение имеет два корня, которые равны абсциссам точек пересечения графиков.

Ответ: уравнение имеет два корня: $x_1 = -0.5$, $x_2 = 2$.

б) $x^3 = 2 - x$

Построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = 2 - x$. Абсциссы точек их пересечения будут являться корнями исходного уравнения.

1. Построение графика функции $y = x^3$.
Это кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Составим таблицу значений:

• при $x = -2$, $y = -8$
• при $x = -1$, $y = -1$
• при $x = 0$, $y = 0$
• при $x = 1$, $y = 1$
• при $x = 2$, $y = 8$

2. Построение графика функции $y = 2 - x$.
Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 2 - 0 = 2$. Точка $(0; 2)$.
• при $x = 2$, $y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2; 0)$.

3. Нахождение точек пересечения.
Построим графики. Функция $y=x^3$ является возрастающей на всей числовой оси, а функция $y=2-x$ — убывающей. Следовательно, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Из графиков и таблиц значений видно, что точка пересечения имеет координаты $(1; 1)$.

Проверим подстановкой: $1^3 = 1$ и $2 - 1 = 1$. Равенство верное. Значит, $x=1$ — единственный корень уравнения.

Ответ: уравнение имеет один корень: $x = 1$.

в) $x^2 - 1 = \frac{8}{x}$

Для графического решения построим в одной системе координат графики функций $y = x^2 - 1$ и $y = \frac{8}{x}$. Заметим, что область определения уравнения — все числа, кроме $x=0$.

1. Построение графика функции $y = x^2 - 1$.
Это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Вершина параболы находится в точке $(0; -1)$.

• при $x = -2$, $y = 3$
• при $x = -1$, $y = 0$
• при $x = 0$, $y = -1$
• при $x = 1$, $y = 0$
• при $x = 2$, $y = 3$
• при $x = 3$, $y = 8$

2. Построение графика функции $y = \frac{8}{x}$.
Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

• при $x = 1$, $y = 8$
• при $x = 2$, $y = 4$
• при $x = 4$, $y = 2$
• при $x = -2$, $y = -4$
• при $x = -4$, $y = -2$

3. Нахождение точек пересечения.
Построим графики. При $x > 0$ парабола возрастает, а гипербола убывает, значит, они пересекаются в одной точке. При $x < 0$ график параболы лежит выше графика гиперболы, точек пересечения нет. Таким образом, графики имеют только одну точку пересечения, которая находится в первой координатной четверти.

Из графика видно, что абсцисса точки пересечения находится между $x=2$ и $x=3$. При $x=2$ значение параболы $y=3$, а гиперболы $y=4$. При $x \approx 2.2$ значение параболы $y \approx 2.2^2 - 1 = 3.84$, а гиперболы $y = 8/2.2 \approx 3.64$. Так как точное значение корня по графику найти сложно, мы можем указать лишь его приблизительное значение.

Ответ: уравнение имеет один корень: $x \approx 2.2$.