Номер 333, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.9 Графическое решение уравнений с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 333, страница 117.

333 Дано уравнение $\sqrt{x} = 0,5x - 4$.

1) Какому из промежутков принадлежит корень этого уравнения — $[0; 10]$ или $[10; 20]$?

2) К какому из концов найденного промежутка корень ближе — к правому или к левому?

1) Какому из промежутков принадлежит корень этого уравнения — [0; 10] или [10; 20]?

Сначала решим данное уравнение: $\sqrt{x} = 0,5x - 4$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем не может быть отрицательным, поэтому $x \ge 0$. Также, результат извлечения арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $0,5x - 4 \ge 0$.

Решим это неравенство: $0,5x \ge 4$, что эквивалентно $x \ge 8$.

Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \ge 8$), получаем итоговую ОДЗ: $x \ge 8$.

Теперь решим само уравнение, возведя обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (0,5x - 4)^2$

$x = (0,5x)^2 - 2 \cdot (0,5x) \cdot 4 + 4^2$

$x = 0,25x^2 - 4x + 16$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0,25x^2 - 4x - x + 16 = 0$

$0,25x^2 - 5x + 16 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части уравнения на 4:

$x^2 - 20x + 64 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу для корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-(-20) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-20) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Теперь проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 8$).

Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $x \ge 8$, поэтому он является посторонним.

Корень $x_2 = 16$ удовлетворяет условию $16 \ge 8$. Сделаем проверку, подставив его в исходное уравнение:

$\sqrt{16} = 0,5 \cdot 16 - 4$

$4 = 8 - 4$

$4 = 4$ (верно).

Таким образом, единственным корнем уравнения является $x = 16$.

Теперь определим, какому из предложенных промежутков, $[0; 10]$ или $[10; 20]$, принадлежит этот корень. Поскольку $10 \le 16 \le 20$, корень $x=16$ принадлежит промежутку $[10; 20]$.

Ответ: Корень уравнения принадлежит промежутку $[10; 20]$.

2) К какому из концов найденного промежутка корень ближе — к правому или к левому?

Мы установили, что корень уравнения $x = 16$ и он принадлежит промежутку $[10; 20]$. Левый конец этого промежутка равен 10, а правый — 20.

Чтобы определить, к какому концу корень ближе, найдем расстояние от корня до каждого из концов.

Расстояние до левого конца (10):

$|16 - 10| = 6$

Расстояние до правого конца (20):

$|16 - 20| = |-4| = 4$

Сравнивая расстояния, видим, что $4 < 6$. Это означает, что корень $x=16$ находится ближе к правому концу промежутка (числу 20), чем к левому (числу 10).

Ответ: Корень ближе к правому концу промежутка.