Номер 336, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.9 Графическое решение уравнений с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 336, страница 117.

При выполнении заданий № 335-336 используйте калькулятор.

336

С помощью графиков определите количество корней уравнения

$x^2 - 4x - \sqrt{x} + 4 = 0.$

Найдите приближение большего корня с одним знаком после запятой.

С помощью графиков определите количество корней уравнения $x^2 - 4x - \sqrt{x} + 4 = 0$.

Для того чтобы решить уравнение графически, преобразуем его к виду, в котором левая и правая части представляют собой функции, которые легко построить.

Исходное уравнение: $x^2 - 4x - \sqrt{x} + 4 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Перенесем член с корнем в правую часть уравнения:

$x^2 - 4x + 4 = \sqrt{x}$

Левая часть уравнения является полным квадратом:

$(x-2)^2 = \sqrt{x}$

Теперь задача сводится к нахождению количества точек пересечения графиков двух функций: $y_1 = (x-2)^2$ и $y_2 = \sqrt{x}$.

1. График функции $y_1 = (x-2)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика функции $y = x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$.

2. График функции $y_2 = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График начинается в точке $(0, 0)$ и возрастает на всей области определения $x \ge 0$.

Построим эскизы графиков в одной системе координат.

Из графика видно, что кривые пересекаются в двух точках. Координаты x этих точек и являются корнями исходного уравнения.

Ответ: 2 корня.

Найдите приближение большего корня с одним знаком после запятой.

Мы ищем корни уравнения $(x-2)^2 = \sqrt{x}$.

Один корень можно легко найти подбором. При $x=1$:

Левая часть: $(1-2)^2 = (-1)^2 = 1$.

Правая часть: $\sqrt{1} = 1$.

Так как $1 = 1$, то $x_1 = 1$ — первый (меньший) корень уравнения.

Второй корень, как видно из графика, больше 2. Найдем его приближенное значение с помощью калькулятора, подставляя значения в уравнение $(x-2)^2 = \sqrt{x}$ или, что эквивалентно, находя корень функции $f(x) = (x-2)^2 - \sqrt{x}$.

Проверим целые значения:

При $x = 3$: $f(3) = (3-2)^2 - \sqrt{3} = 1^2 - \sqrt{3} = 1 - 1.732 = -0.732 < 0$.

При $x = 4$: $f(4) = (4-2)^2 - \sqrt{4} = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2 > 0$.

Так как функция $f(x)$ меняет знак на интервале $(3, 4)$, второй корень $x_2$ находится между 3 и 4. Уточним его значение до десятых.

При $x = 3.3$: $f(3.3) = (3.3 - 2)^2 - \sqrt{3.3} = 1.3^2 - \sqrt{3.3} = 1.69 - 1.8166... \approx -0.127 < 0$.

При $x = 3.4$: $f(3.4) = (3.4 - 2)^2 - \sqrt{3.4} = 1.4^2 - \sqrt{3.4} = 1.96 - 1.8439... \approx 0.116 > 0$.

Корень находится между 3.3 и 3.4. Чтобы определить, к какому из этих чисел он ближе, проверим значение в середине интервала, в точке $x = 3.35$:

При $x=3.35$: $f(3.35) = (3.35 - 2)^2 - \sqrt{3.35} = 1.35^2 - \sqrt{3.35} = 1.8225 - 1.8303... \approx -0.0078 < 0$.

Поскольку $f(3.35) < 0$ и $f(3.4) > 0$, корень лежит в интервале $(3.35, 3.4)$. Это означает, что при округлении до одного знака после запятой, значение корня будет 3.4.

Ответ: $x \approx 3.4$.