Номер 6, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Решение системы уравнений второй степени. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 6, страница 120.

6 Система уравнений ${ \begin{cases} x^3 + y^3 = 35, \\ x + y = 5 \end{cases} }$ содержит уравнение третьей степени, но решается она довольно просто. Решите её двумя способами.

Способ 1. Воспользуйтесь подстановкой, например $y = 5 - x$, и затем примените к выражению $(5 - x)^3$ формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Способ 2. Выразите $x^3 + y^3$ через $x + y$ и $xy$ с помощью формулы куба суммы, но записанной в виде $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$. Затем подставьте вместо суммы $x + y$ её значение, известное из второго уравнения.

Способ 1.

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения системы выразим y через x:

$x + y = 5 \implies y = 5 - x$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^3 + (5 - x)^3 = 35$

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(5 - x)^3 = 5^3 - 3 \cdot 5^2 \cdot x + 3 \cdot 5 \cdot x^2 - x^3 = 125 - 75x + 15x^2 - x^3$

Подставим результат в уравнение:

$x^3 + 125 - 75x + 15x^2 - x^3 = 35$

Приведем подобные слагаемые:

$15x^2 - 75x + 125 - 35 = 0$

$15x^2 - 75x + 90 = 0$

Разделим обе части уравнения на 15, чтобы упростить его:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения y:

1) Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 5 - x_1 = 5 - 2 = 3$.

2) Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 5 - x_2 = 5 - 3 = 2$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2; 3), (3; 2)$.

Способ 2.

Воспользуемся формулой суммы кубов, записанной в виде $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$.

Применим эту формулу к первому уравнению системы:

$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$

Из условия системы нам известны значения $x^3 + y^3 = 35$ и $x + y = 5$. Подставим их в формулу:

$35 = 5^3 - 3xy \cdot 5$

Упростим полученное уравнение:

$35 = 125 - 15xy$

Выразим отсюда произведение $xy$:

$15xy = 125 - 35$

$15xy = 90$

$xy = \frac{90}{15}$

$xy = 6$

Теперь исходная система эквивалентна следующей системе:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, x и y являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Решая это уравнение, находим корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Это означает, что переменные x и y принимают эти значения. Если $x=2$, то $y=3$, и если $x=3$, то $y=2$.

Ответ: $(2; 3), (3; 2)$.