Номер 3, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Решение системы уравнений второй степени. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 3, страница 120.

1) Рассмотрим систему

$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7, \\ x + xy + y = 5. \end{cases}$ Входящие в нее уравнения содержат сумму переменных $x + y$, их произведение $xy$ и сумму квадратов $x^2 + y^2$. Сумму квадратов $x^2 + y^2$ можно выразить через сумму $x + y$ и произведение $xy$: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.

И система примет вид $\begin{cases} (x + y)^2 - xy = 7, \\ (x + y) + xy = 5. \end{cases}$ Такую систему удобно решить с помощью замены: $x + y = a, xy = b$. Получим систему $\begin{cases} a^2 - b = 7, \\ a + b = 5. \end{cases}$

Решив её, найдём две пары чисел $a$ и $b$, удовлетворяющих системе: $a_1 = -4, b_1 = 9$ и $a_2 = 3, b_2 = 2$.

Выполнив обратную замену, получим две системы уравнений, на которые распадается исходная система: $\begin{cases} x + y = -4, \\ xy = 9 \end{cases}$ и $\begin{cases} x + y = 3, \\ xy = 2. \end{cases}$

Первая система решений не имеет, решения второй — пары $(1; 2)$ и $(2; 1)$. Ответ: $(1; 2), (2; 1)$.

2) Воспользовавшись приёмом, разобранным в п. 1, решите систему уравнений

$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 21, \\ x + xy + y = 9. \end{cases}$

2)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}x^2 + xy + y^2 = 21 \\x + xy + y = 9\end{cases}$$

Для решения этой системы воспользуемся приёмом, разобранным в пункте 1. Введём замену переменных: $a = x + y$ и $b = xy$.

Преобразуем систему. Второе уравнение $(x + y) + xy = 9$ примет вид $a + b = 9$.

Для первого уравнения используем тождество $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = a^2 - 2b$. Тогда уравнение $x^2 + y^2 + xy = 21$ превращается в $(a^2 - 2b) + b = 21$, что упрощается до $a^2 - b = 21$.

В результате получаем систему уравнений для $a$ и $b$:

$$\begin{cases}a^2 - b = 21 \\a + b = 9\end{cases}$$

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $b = 9 - a$ и подставим в первое:

$a^2 - (9 - a) = 21$
$a^2 + a - 9 - 21 = 0$
$a^2 + a - 30 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $a$. Его корни можно найти по теореме Виета: $a_1 \cdot a_2 = -30$ и $a_1 + a_2 = -1$. Подходят числа $a_1 = 5$ и $a_2 = -6$.

Теперь найдем соответствующие значения $b$:

1. Если $a_1 = 5$, то $b_1 = 9 - 5 = 4$.

2. Если $a_2 = -6$, то $b_2 = 9 - (-6) = 15$.

Далее выполним обратную замену, разбив задачу на два случая.

Случай 1: $a = 5, b = 4$.

Система для $x$ и $y$ имеет вид:

$$\begin{cases}x + y = 5 \\xy = 4\end{cases}$$

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.
Корни этого уравнения $t_1 = 1, t_2 = 4$.
Следовательно, решениями являются пары $(1; 4)$ и $(4; 1)$.

Случай 2: $a = -6, b = 15$.

Система для $x$ и $y$ имеет вид:

$$\begin{cases}x + y = -6 \\xy = 15\end{cases}$$

Здесь $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-6)t + 15 = 0$, то есть $t^2 + 6t + 15 = 0$.
Дискриминант этого уравнения $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 36 - 60 = -24$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и эта система не имеет решений.

Таким образом, решениями исходной системы являются только пары, найденные в первом случае.

Ответ: $(1; 4), (4; 1)$.