Номер 4, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Решение системы уравнений второй степени. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 4, страница 120.

4 Решите систему уравнений

$$\begin{cases}(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 18, \\(x - 1)(y - 2) = 9\end{cases}$$

с помощью подходящей замены.

Для решения данной системы уравнений введем замену переменных. Обратим внимание, что в оба уравнения входят выражения $(x-1)$ и $(y-2)$.

Пусть $a = x - 1$ и $b = y - 2$.

Тогда исходная система примет следующий вид: $ \begin{cases} a^2 + b^2 = 18, \\ ab = 9 \end{cases} $

Мы получили симметрическую систему относительно переменных $a$ и $b$. Для её решения воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Подставим в нее известные нам значения $a^2 + b^2 = 18$ и $ab = 9$:

$(a + b)^2 = 18 + 2 \cdot 9 = 18 + 18 = 36$.

Из этого уравнения следует, что $a + b = 6$ или $a + b = -6$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a + b = 6$ и $ab = 9$.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (a+b)z + ab = 0$, то есть $z^2 - 6z + 9 = 0$.

Левая часть уравнения является полным квадратом: $(z - 3)^2 = 0$.

Отсюда находим единственный корень $z = 3$. Это означает, что $a = 3$ и $b = 3$.

Случай 2: $a + b = -6$ и $ab = 9$.

Аналогично первому случаю, составим квадратное уравнение: $z^2 - (-6)z + 9 = 0$, что равносильно $z^2 + 6z + 9 = 0$.

Левая часть этого уравнения также является полным квадратом: $(z + 3)^2 = 0$.

Отсюда находим корень $z = -3$. Это означает, что $a = -3$ и $b = -3$.

Теперь, когда мы нашли значения для $a$ и $b$, выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.

Из первого случая ($a = 3, b = 3$) получаем систему: $ \begin{cases} x - 1 = 3 \\ y - 2 = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 4 \\ y = 5 \end{cases} $

Из второго случая ($a = -3, b = -3$) получаем систему: $ \begin{cases} x - 1 = -3 \\ y - 2 = -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -2 \\ y = -1 \end{cases} $

Таким образом, исходная система имеет два решения.

Ответ: $(4; 5)$, $(-2; -1)$.