Номер 3, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Уравнение с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 3, страница 122.

Докажите, что при любых значениях $a$ уравнение имеет хотя бы один корень:

a) $x^2 - 5ax + 6a^2 = 0$;

б) $(x + a)(x - a) = 1 - 2a$.

а) $x^2 - 5ax + 6a^2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Чтобы доказать, что оно имеет хотя бы один корень при любых значениях параметра $a$, достаточно доказать, что его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Коэффициенты квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ в данном случае равны: $A = 1$, $B = -5a$, $C = 6a^2$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = (-5a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a^2) = 25a^2 - 24a^2 = a^2$.

Выражение $a^2$ представляет собой квадрат действительного числа $a$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$ при любом значении $a$.

Поскольку дискриминант $D = a^2 \ge 0$ при любых значениях $a$, уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Ответ: Дискриминант уравнения равен $D=a^2$, а так как $a^2 \ge 0$ для любого $a$, то уравнение всегда имеет хотя бы один корень.

б) $(x + a)(x - a) = 1 - 2a$

Сначала преобразуем данное уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$.

В левой части уравнения используем формулу разности квадратов: $(x + a)(x - a) = x^2 - a^2$.
Уравнение принимает вид: $x^2 - a^2 = 1 - 2a$.

Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - a^2 - 1 + 2a = 0$
$x^2 - (a^2 - 2a + 1) = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Его коэффициенты: $A = 1$, $B = 0$, $C = -(a^2 - 2a + 1)$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(a^2 - 2a + 1))$
$D = 4(a^2 - 2a + 1)$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.
Тогда дискриминант равен: $D = 4(a - 1)^2$.

Выражение $(a-1)^2$ всегда неотрицательно, так как это квадрат действительного числа: $(a-1)^2 \ge 0$. Умножение на положительное число 4 не меняет знак неравенства, поэтому $D = 4(a - 1)^2 \ge 0$ при любом значении $a$.

Поскольку дискриминант $D \ge 0$ при любых значениях $a$, уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Ответ: Дискриминант уравнения равен $D=4(a-1)^2$, а так как $4(a-1)^2 \ge 0$ для любого $a$, то уравнение всегда имеет хотя бы один корень.