Номер 1, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Уравнение с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 1, страница 122.

Решите уравнение с переменной $x$:

a) $(m - 1)x = m^2 - 1;$

б) $(c - 2)x = c + 2;$

в) $(2 - a)x = a^2 - 4;$

г) $(b^2 - 1)x = b + 1.$

а)

Дано уравнение $(m - 1)x = m^2 - 1$. Это линейное уравнение относительно $x$ с параметром $m$. Решение зависит от значения коэффициента при $x$.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ не равен нулю: $m - 1 \neq 0$, то есть $m \neq 1$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $m - 1$:

$x = \frac{m^2 - 1}{m - 1}$

Применим формулу разности квадратов к числителю: $m^2 - 1 = (m - 1)(m + 1)$.

$x = \frac{(m - 1)(m + 1)}{m - 1}$

Так как $m \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(m - 1)$:

$x = m + 1$

2. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю: $m - 1 = 0$, то есть $m = 1$.

Подставим $m = 1$ в исходное уравнение:

$(1 - 1)x = 1^2 - 1$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$. Следовательно, $x$ — любое число.

Ответ: если $m \neq 1$, то $x = m + 1$; если $m = 1$, то $x$ — любое число.

б)

Дано уравнение $(c - 2)x = c + 2$. Это линейное уравнение относительно $x$ с параметром $c$.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ не равен нулю: $c - 2 \neq 0$, то есть $c \neq 2$.

В этом случае делим обе части уравнения на $c - 2$:

$x = \frac{c + 2}{c - 2}$

Это выражение является решением уравнения.

2. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю: $c - 2 = 0$, то есть $c = 2$.

Подставим $c = 2$ в исходное уравнение:

$(2 - 2)x = 2 + 2$

$0 \cdot x = 4$

Это равенство неверно ни при каком значении $x$, так как $0 \neq 4$. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: если $c \neq 2$, то $x = \frac{c + 2}{c - 2}$; если $c = 2$, то корней нет.

в)

Дано уравнение $(2 - a)x = a^2 - 4$. Это линейное уравнение относительно $x$ с параметром $a$.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ не равен нулю: $2 - a \neq 0$, то есть $a \neq 2$.

Разделим обе части уравнения на $2 - a$:

$x = \frac{a^2 - 4}{2 - a}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.

$x = \frac{(a - 2)(a + 2)}{2 - a}$

Заметим, что $2 - a = -(a - 2)$.

$x = \frac{(a - 2)(a + 2)}{-(a - 2)}$

Так как $a \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(a - 2)$:

$x = \frac{a + 2}{-1} = -(a + 2)$

2. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю: $2 - a = 0$, то есть $a = 2$.

Подставим $a = 2$ в исходное уравнение:

$(2 - 2)x = 2^2 - 4$

$0 \cdot x = 4 - 4$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$. Следовательно, $x$ — любое число.

Ответ: если $a \neq 2$, то $x = -(a + 2)$; если $a = 2$, то $x$ — любое число.

г)

Дано уравнение $(b^2 - 1)x = b + 1$. Это линейное уравнение относительно $x$ с параметром $b$.

Разложим коэффициент при $x$ на множители: $b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)$.

Уравнение принимает вид: $(b - 1)(b + 1)x = b + 1$.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ не равен нулю: $b^2 - 1 \neq 0$, то есть $b \neq 1$ и $b \neq -1$.

В этом случае делим обе части уравнения на $b^2 - 1$:

$x = \frac{b + 1}{b^2 - 1} = \frac{b + 1}{(b - 1)(b + 1)}$

Так как $b \neq -1$, мы можем сократить дробь на $(b + 1)$:

$x = \frac{1}{b - 1}$

2. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю: $b^2 - 1 = 0$. Это происходит при $b = 1$ или $b = -1$.

а) Если $b = 1$, подставим это значение в исходное уравнение:

$(1^2 - 1)x = 1 + 1$

$0 \cdot x = 2$

Это равенство неверно ни при каком $x$. Уравнение не имеет корней.

б) Если $b = -1$, подставим это значение в исходное уравнение:

$((-1)^2 - 1)x = -1 + 1$

$(1 - 1)x = 0$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого значения $x$. Следовательно, $x$ — любое число.

Ответ: если $b \neq 1$ и $b \neq -1$, то $x = \frac{1}{b - 1}$; если $b = 1$, то корней нет; если $b = -1$, то $x$ — любое число.