Номер 7, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Решение системы уравнений второй степени. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 7, страница 120.

7. Решите систему уравнений $ \begin{cases} x^4 + y^4 = 32, \\ x^2 + y^2 = 8. \end{cases} $

Совет. Примените замену $x^2 = a, y^2 = b.$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся советом и введем замену переменных. Пусть $a = x^2$ и $b = y^2$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$, то для новых переменных должны выполняться условия $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Выразим $x^4$ и $y^4$ через $a$ и $b$. Получим $x^4 = (x^2)^2 = a^2$ и $y^4 = (y^2)^2 = b^2$.

Подставим новые переменные в исходную систему уравнений:

$ \begin{cases} a^2 + b^2 = 32 \\ a + b = 8 \end{cases} $

Теперь решим полученную систему. Возведем второе уравнение в квадрат:

$(a + b)^2 = 8^2$

$a^2 + 2ab + b^2 = 64$

Из первого уравнения системы мы знаем, что $a^2 + b^2 = 32$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$32 + 2ab = 64$

Выразим $2ab$:

$2ab = 64 - 32$

$2ab = 32$

$ab = 16$

Теперь у нас есть новая, более простая система:

$ \begin{cases} a + b = 8 \\ ab = 16 \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.

$t^2 - 8t + 16 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(t - 4)^2 = 0$

Отсюда находим единственный корень $t = 4$.

Следовательно, $a = 4$ и $b = 4$. Эти значения удовлетворяют условиям $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, выполнив обратную замену:

$x^2 = a \implies x^2 = 4$

$y^2 = b \implies y^2 = 4$

Решим эти простые уравнения:

Из $x^2 = 4$ следует, что $x = \pm \sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Из $y^2 = 4$ следует, что $y = \pm \sqrt{4}$, то есть $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Поскольку в исходной системе переменные $x$ и $y$ входят только в четных степенях, любая комбинация полученных значений $x$ и $y$ будет решением. Таким образом, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2, 2)$, $(2, -2)$, $(-2, 2)$, $(-2, -2)$.