Номер 2, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Уравнение с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 2, страница 122.

2 Выясните, при каких значениях параметра a уравнение имеет два корня:

а) $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0;$

б) $ax^2 - (a^2 + 4)x + 4a = 0.$

а) $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0$

Чтобы уравнение имело два различных корня, оно должно быть квадратным (коэффициент при $x^2$ не равен нулю) и его дискриминант должен быть строго больше нуля.

1. Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a = 0$.
Уравнение принимает вид: $-(0 + 1)x + 1 = 0$, что упрощается до $-x + 1 = 0$.
Это линейное уравнение, которое имеет один корень $x = 1$. Следовательно, $a = 0$ не является решением задачи.

2. Теперь рассмотрим случай, когда $a \neq 0$. В этом случае уравнение является квадратным.
Найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.
Здесь коэффициенты: $A=a$, $B=-(a+1)$, $C=1$.
$D = (-(a + 1))^2 - 4 \cdot a \cdot 1 = (a + 1)^2 - 4a = a^2 + 2a + 1 - 4a = a^2 - 2a + 1$.
Заметим, что полученное выражение является полным квадратом: $D = (a - 1)^2$.

Уравнение имеет два различных корня, если $D > 0$.
$(a - 1)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Он равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Таким образом, неравенство выполняется для всех $a$, кроме $a - 1 = 0$, то есть $a \neq 1$.

Объединяем условия: уравнение должно быть квадратным ($a \neq 0$) и иметь положительный дискриминант ($a \neq 1$).

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) $ax^2 - (a^2 + 4)x + 4a = 0$

Аналогично предыдущему пункту, уравнение должно быть квадратным ($a \neq 0$) и его дискриминант должен быть положительным ($D > 0$).

1. Если $a = 0$, уравнение становится линейным:
$-(0^2 + 4)x + 4 \cdot 0 = 0 \implies -4x = 0$.
Это уравнение имеет единственный корень $x = 0$. Таким образом, $a = 0$ не подходит.

2. Если $a \neq 0$, уравнение является квадратным.
Найдем его дискриминант $D$. Коэффициенты: $A=a$, $B=-(a^2+4)$, $C=4a$.
$D = (-(a^2 + 4))^2 - 4 \cdot a \cdot (4a) = (a^2 + 4)^2 - 16a^2$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$D = (a^4 + 8a^2 + 16) - 16a^2 = a^4 - 8a^2 + 16$.
Это выражение также является полным квадратом: $D = (a^2 - 4)^2$.

Условие наличия двух различных корней — $D > 0$.
$(a^2 - 4)^2 > 0$.
Неравенство выполняется, когда выражение в основании степени не равно нулю:
$a^2 - 4 \neq 0$.
$a^2 \neq 4$.
Это означает, что $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

Собираем все условия вместе: $a \neq 0$, $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

Ответ: $a \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.