Номер 5, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Уравнение с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 5, страница 122.

5 С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение, в котором $a$ — параметр:

a) $ |x| = ax - 1 $;
б) $ |x| = ax + 2 $.

Пример 3. Выясним, при каких значениях параметра $a$ система уравнений
$ \begin{cases} x - y = a, \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases} $
, имеет единственное решение, и найдём это решение.

Такие системы мы решаем способом подстановки, поступим так же и в этом случае.

Для решения задачи представим каждое уравнение в виде равенства двух функций $f(x) = g(x)$ и проанализируем количество точек пересечения их графиков. В обоих случаях левая часть уравнения — это функция $y = |x|$, график которой представляет собой две прямые $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$, с вершиной в точке $(0, 0)$. Правая часть — это семейство прямых $y = ax+b$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков.

а) $|x| = ax - 1$

Рассмотрим графики функций $y = |x|$ и $y = ax - 1$.

График функции $y = ax - 1$ — это семейство прямых (пучок прямых), которые проходят через точку $(0, -1)$, так как при $x=0$ значение $y$ равно $-1$ для любого значения параметра $a$. Эта точка находится ниже оси абсцисс.

Проанализируем взаимное расположение графиков в зависимости от углового коэффициента $a$.

1. Рассмотрим пересечение прямой $y=ax-1$ с правой ветвью графика $y=|x|$, то есть с лучом $y=x$ при $x \ge 0$.

   $x = ax - 1 \implies (1-a)x = -1$.

   Если $a=1$, то получаем $0 \cdot x = -1$, что не имеет решений. Прямая $y=x-1$ параллельна прямой $y=x$ и не пересекает ее.

   Если $a \ne 1$, то $x = \frac{-1}{1-a} = \frac{1}{a-1}$. Корень существует на данной ветви, если $x \ge 0$, что выполняется при $a-1 > 0$, то есть при $a > 1$.

2. Рассмотрим пересечение прямой $y=ax-1$ с левой ветвью графика $y=|x|$, то есть с лучом $y=-x$ при $x < 0$.

   $-x = ax - 1 \implies 1 = (a+1)x$.

   Если $a=-1$, то получаем $1 = 0 \cdot x$, что не имеет решений. Прямая $y=-x-1$ параллельна прямой $y=-x$ и не пересекает ее.

   Если $a \ne -1$, то $x = \frac{1}{a+1}$. Корень существует на данной ветви, если $x < 0$, что выполняется при $a+1 < 0$, то есть при $a < -1$.

Теперь объединим результаты:

• Если $a > 1$, есть одно пересечение с правой ветвью и нет пересечений с левой. Итого: 1 корень.
• Если $a < -1$, есть одно пересечение с левой ветвью и нет пересечений с правой. Итого: 1 корень.
• Если $-1 \le a \le 1$, пересечений нет ни с одной из ветвей. Итого: 0 корней.

Таким образом, уравнение может иметь 0 или 1 корень.

Ответ: 0 или 1.

б) $|x| = ax + 2$

Рассмотрим графики функций $y = |x|$ и $y = ax + 2$.

График функции $y = ax + 2$ — это семейство прямых, проходящих через точку $(0, 2)$. Эта точка находится на оси ординат выше вершины графика $y=|x|$.

Проанализируем взаимное расположение графиков.

1. Пересечение с правой ветвью ($y=x$ при $x \ge 0$):

   $x = ax + 2 \implies (1-a)x = 2$.

   Если $a=1$, решений нет (прямые параллельны).

   Если $a \ne 1$, то $x = \frac{2}{1-a}$. Корень существует, если $x \ge 0$, что выполняется при $1-a > 0$, то есть при $a < 1$.

2. Пересечение с левой ветвью ($y=-x$ при $x < 0$):

   $-x = ax + 2 \implies -(a+1)x = 2$.

   Если $a=-1$, решений нет (прямые параллельны).

   Если $a \ne -1$, то $x = \frac{-2}{a+1}$. Корень существует, если $x < 0$, что выполняется при $a+1 > 0$, то есть при $a > -1$.

Объединим результаты:

• Если $a > 1$: пересечения с правой ветвью нет ($a \not< 1$), но есть с левой ($a > -1$). Итого: 1 корень.
• Если $a = 1$: пересечения с правой ветвью нет (параллельны), но есть с левой ($a > -1$). Итого: 1 корень.
• Если $-1 < a < 1$: есть пересечение с правой ветвью ($a < 1$) и с левой ($a > -1$). Итого: 2 корня.
• Если $a = -1$: есть пересечение с правой ветвью ($a < 1$), но нет с левой (параллельны). Итого: 1 корень.
• Если $a < -1$: есть пересечение с правой ветвью ($a < 1$), но нет с левой ($a \not> -1$). Итого: 1 корень.

Таким образом, при $|a| \ge 1$ уравнение имеет 1 корень, а при $|a| < 1$ — 2 корня. Следовательно, уравнение может иметь 1 или 2 корня.

Ответ: 1 или 2.