Номер 10, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Уравнение с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 10, страница 123.

Дана система уравнений с переменными $x$ и $y$: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ y = |x| + a. \end{cases}$

1) С помощью графиков установите, сколько решений может иметь эта система.

2) Найдите значения $a$, при которых система имеет два решения; три решения.

1)

Для определения возможного количества решений системы рассмотрим графики уравнений в координатной плоскости $xOy$.

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 1$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=1$.

Второе уравнение $y = |x| + a$ задает семейство графиков, получаемых из графика функции $y=|x|$ (который представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями $y=x$ при $x \geq 0$ и $y=-x$ при $x < 0$) путем сдвига вдоль оси $Oy$ на $a$ единиц. Вершина "галочки" $y=|x|+a$ находится в точке $(0, a)$.

Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и "галочки". Проанализируем это количество в зависимости от значения параметра $a$, перемещая "галочку" вдоль оси $y$.

• При $a > 1$ вершина "галочки" $(0, a)$ находится выше верхней точки окружности $(0, 1)$. Графики не пересекаются. 0 решений.
• При $a = 1$ вершина "галочки" касается окружности в ее верхней точке $(0, 1)$. 1 решение.
• При $-1 < a < 1$ вершина "галочки" находится внутри окружности, и ее ветви пересекают окружность в двух точках. 2 решения.
• При $a = -1$ вершина "галочки" совпадает с нижней точкой окружности $(0, -1)$. Ветви пересекают окружность еще в двух точках $(1, 0)$ и $(-1, 0)$. 3 решения.
• При $-\sqrt{2} < a < -1$ вершина "галочки" находится ниже нижней точки окружности, и каждая из двух ветвей пересекает окружность в двух точках. 4 решения.
• При $a = -\sqrt{2}$ ветви "галочки" касаются окружности в двух точках. Это значение получается из условия, что расстояние от центра окружности $(0,0)$ до прямых $y=x+a$ и $y=-x+a$ равно радиусу 1: $\frac{|a|}{\sqrt{2}}=1 \implies a=-\sqrt{2}$ (так как касание происходит снизу). 2 решения.
• При $a < -\sqrt{2}$ "галочка" полностью находится под окружностью. Графики не пересекаются. 0 решений.

Таким образом, в зависимости от значения параметра $a$, система может иметь ноль, одно, два, три или четыре решения.

Ответ: Система может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения.

2)

На основе анализа, проведенного в пункте 1), найдем значения параметра $a$, при которых система имеет два или три решения.

Система имеет два решения в двух случаях:

1. Когда "галочка" пересекает окружность в двух точках. Это происходит при $-1 < a < 1$.
2. Когда ветви "галочки" касаются окружности. Это происходит при $a = -\sqrt{2}$.

Система имеет три решения в одном случае:

• Когда вершина "галочки" совпадает с нижней точкой окружности. Это происходит при $a = -1$.

Ответ: система имеет два решения при $a \in (-1, 1) \cup \{-\sqrt{2}\}$; три решения при $a = -1$.