Номер 4, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 4, страница 124.

4 Упростите выражение:

а) $\frac{a^2 - 1}{a^2} - \frac{a^2 - 9}{a} \cdot \frac{1}{a + 3};$

б) $(\frac{x - y}{x + y} - \frac{x + y}{x - y}) : \frac{4}{x^2 - y^2};$

В) $2a - \frac{a^2 - 5a}{a + 1} \cdot \frac{1}{a - 5};$

Г) $(x + 4) \cdot \frac{x + 6}{x^2 - 16} - \frac{x - 6}{x - 4}.$

а) $ \frac{a^2 - 1}{a^2} - \frac{a^2 - 9}{a} \cdot \frac{1}{a + 3} $
В первую очередь выполняем умножение дробей. Для этого разложим числитель $a^2 - 9$ на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$
Теперь умножение выглядит так:
$ \frac{a^2 - 9}{a} \cdot \frac{1}{a + 3} = \frac{(a - 3)(a + 3)}{a} \cdot \frac{1}{a + 3} $
Сокращаем общий множитель $(a + 3)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq -3$):
$ \frac{(a - 3)\sout{(a + 3)}}{a} \cdot \frac{1}{\sout{a + 3}} = \frac{a - 3}{a} $
Подставляем полученное выражение обратно в исходное:
$ \frac{a^2 - 1}{a^2} - \frac{a - 3}{a} $
Приводим дроби к общему знаменателю $a^2$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $a$:
$ \frac{a^2 - 1}{a^2} - \frac{a(a - 3)}{a^2} = \frac{a^2 - 1 - (a^2 - 3a)}{a^2} $
Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:
$ \frac{a^2 - 1 - a^2 + 3a}{a^2} = \frac{3a - 1}{a^2} $
Ответ: $ \frac{3a - 1}{a^2} $

б) $ (\frac{x - y}{x + y} - \frac{x + y}{x - y}) : \frac{4}{x^2 - y^2} $
Сначала выполняем действие в скобках — вычитание дробей. Находим общий знаменатель, используя формулу разности квадратов: $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.
$ \frac{(x - y)(x - y)}{(x + y)(x - y)} - \frac{(x + y)(x + y)}{(x - y)(x + y)} = \frac{(x - y)^2 - (x + y)^2}{x^2 - y^2} $
Раскрываем квадраты в числителе по формулам квадрата разности и квадрата суммы:
$ \frac{(x^2 - 2xy + y^2) - (x^2 + 2xy + y^2)}{x^2 - y^2} $
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{x^2 - 2xy + y^2 - x^2 - 2xy - y^2}{x^2 - y^2} = \frac{-4xy}{x^2 - y^2} $
Теперь выполняем деление. Деление на дробь заменяем умножением на обратную ей дробь:
$ \frac{-4xy}{x^2 - y^2} : \frac{4}{x^2 - y^2} = \frac{-4xy}{x^2 - y^2} \cdot \frac{x^2 - y^2}{4} $
Сокращаем общие множители $4$ и $(x^2 - y^2)$ (при условии, что $x^2 \neq y^2$):
$ \frac{-\sout{4}xy}{\sout{x^2 - y^2}} \cdot \frac{\sout{x^2 - y^2}}{\sout{4}} = -xy $
Ответ: $ -xy $

в) $ 2a - \frac{a^2 - 5a}{a + 1} \cdot \frac{1}{a - 5} $
Сначала выполняем умножение дробей. Для этого вынесем общий множитель $a$ в числителе $a^2 - 5a$:
$ a^2 - 5a = a(a - 5) $
Умножение принимает вид:
$ \frac{a(a - 5)}{a + 1} \cdot \frac{1}{a - 5} $
Сокращаем на общий множитель $(a - 5)$ (при условии, что $a \neq 5$):
$ \frac{a\sout{(a - 5)}}{a + 1} \cdot \frac{1}{\sout{a - 5}} = \frac{a}{a + 1} $
Подставляем результат в исходное выражение:
$ 2a - \frac{a}{a + 1} $
Приводим к общему знаменателю $(a + 1)$. Для этого представляем $2a$ в виде дроби со знаменателем $(a + 1)$:
$ \frac{2a(a + 1)}{a + 1} - \frac{a}{a + 1} = \frac{2a^2 + 2a}{a + 1} - \frac{a}{a + 1} $
Выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{2a^2 + 2a - a}{a + 1} = \frac{2a^2 + a}{a + 1} $
В числителе можно вынести общий множитель $a$ за скобки:
$ \frac{a(2a + 1)}{a + 1} $
Ответ: $ \frac{a(2a + 1)}{a + 1} $

г) $ (x + 4) \cdot \frac{x + 6}{x^2 - 16} - \frac{x - 6}{x - 4} $
Сначала выполняем умножение. Разложим знаменатель $x^2 - 16$ на множители по формуле разности квадратов:
$ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) $
Умножение принимает вид:
$ (x + 4) \cdot \frac{x + 6}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x + 4}{1} \cdot \frac{x + 6}{(x - 4)(x + 4)} $
Сокращаем на общий множитель $(x + 4)$ (при условии, что $x \neq -4$):
$ \frac{\sout{x + 4}}{1} \cdot \frac{x + 6}{(x - 4)\sout{(x + 4)}} = \frac{x + 6}{x - 4} $
Подставляем результат в исходное выражение:
$ \frac{x + 6}{x - 4} - \frac{x - 6}{x - 4} $
Дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому вычитаем их числители:
$ \frac{(x + 6) - (x - 6)}{x - 4} $
Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:
$ \frac{x + 6 - x + 6}{x - 4} = \frac{12}{x - 4} $
Ответ: $ \frac{12}{x - 4} $