Номер 5, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 5, страница 124.

5 Докажите тождество $x(x+y) - y(x+y) = x^2 - y^2$.

Для того чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать одну из его частей так, чтобы она стала идентичной другой части. Преобразуем левую часть равенства: $x(x + y) - y(x + y)$.

Это можно сделать двумя способами.

Способ 1: Раскрытие скобок

Сначала раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения. Умножим $x$ на выражение в скобках $(x + y)$ и $-y$ на то же выражение:

$x(x + y) - y(x + y) = (x \cdot x + x \cdot y) - (y \cdot x + y \cdot y)$

Выполним умножение:

$x^2 + xy - yx - y^2$

Поскольку $xy$ и $yx$ — это одно и то же, приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (xy - xy) - y^2 = x^2 + 0 - y^2 = x^2 - y^2$

Способ 2: Вынесение общего множителя за скобки

В левой части выражения $x(x + y) - y(x + y)$ есть общий множитель $(x + y)$. Вынесем его за скобки:

$x(x + y) - y(x + y) = (x - y)(x + y)$

Полученное выражение является формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Применим эту формулу:

$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$

Оба способа показывают, что левая часть тождества равна $x^2 - y^2$, что полностью совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.

$x^2 - y^2 = x^2 - y^2$

Ответ: Тождество доказано, так как в результате алгебраических преобразований левая часть выражения $x(x + y) - y(x + y)$ приводится к виду правой части $x^2 - y^2$.