Номер 8, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 8, страница 125.

8 a) $\frac{3}{x+2} - 5 = \frac{4}{x-2}$;

б) $\frac{x-3}{x} + \frac{7}{x+3} = \frac{5}{4}$;

B) $x + \frac{4}{x} = 4$;

Г) $\frac{x^2 - 7x - 8}{x+1} = 0$;

Д) $\frac{x}{x-2} = \frac{10}{x+1}$;

e) $\frac{1-x}{2-x} = 2$.

а) $\frac{3}{x+2} - 5 = \frac{4}{x-2}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+2 \neq 0$ и $x-2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$ и $x \neq 2$.

Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $(x+2)(x-2) = x^2-4$:

$\frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{5(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{4(x+2)}{(x+2)(x-2)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+2)(x-2)$, так как в ОДЗ он не равен нулю:

$3(x-2) - 5(x^2-4) = 4(x+2)$

Раскроем скобки:

$3x - 6 - 5x^2 + 20 = 4x + 8$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$-5x^2 + 3x + 14 - 4x - 8 = 0$

$-5x^2 - x + 6 = 0$

Умножим уравнение на -1, чтобы сделать старший коэффициент положительным:

$5x^2 + x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 + 120 = 121 = 11^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-12}{10} = -1.2$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 2$).

Ответ: $1; -1.2$.

б) $\frac{x-3}{x} + \frac{7}{x+3} = \frac{5}{4}$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$ и $x \neq -3$.

Общий знаменатель: $4x(x+3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$4(x+3)(x-3) + 7 \cdot 4x = 5x(x+3)$

Раскроем скобки и упростим:

$4(x^2 - 9) + 28x = 5x^2 + 15x$

$4x^2 - 36 + 28x = 5x^2 + 15x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5x^2 - 4x^2 + 15x - 28x + 36 = 0$

$x^2 - 13x + 36 = 0$

Решим уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 13, а произведение равно 36. Это числа 4 и 9.

$x_1 = 4$, $x_2 = 9$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0, x \neq -3$).

Ответ: $4; 9$.

в) $x + \frac{4}{x} = 4$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$:

$x \cdot x + \frac{4}{x} \cdot x = 4 \cdot x$

$x^2 + 4 = 4x$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Это формула полного квадрата разности: $(x-2)^2 = 0$.

Отсюда $x-2 = 0$, следовательно, $x=2$.

Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $2$.

г) $\frac{x^2 - 7x - 8}{x+1} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю:

$x^2 - 7x - 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно -8. Корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -1$.

2. Проверим, чтобы знаменатель не был равен нулю:

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним.

Корень $x_1 = 8$ удовлетворяет условию $x \neq -1$.

Следовательно, решением уравнения является только $x=8$.

Ответ: $8$.

д) $\frac{x}{x-2} = \frac{10}{x+1}$

ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$x(x+1) = 10(x-2)$

Раскроем скобки:

$x^2 + x = 10x - 20$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 + x - 10x + 20 = 0$

$x^2 - 9x + 20 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение равно 20. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2, x \neq -1$).

Ответ: $4; 5$.

е) $\frac{1-x}{2-x} = 2$

ОДЗ: $2-x \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(2-x)$:

$1-x = 2(2-x)$

Раскроем скобки:

$1-x = 4 - 2x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа - в правую:

$-x + 2x = 4 - 1$

$x = 3$

Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $3$.