Номер 6, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Уравнение с параметром. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 6, страница 123.

6 Решите систему линейных уравнений ($x, y$ — переменные, $a$ — параметр):

a) $\begin{cases} x + 2y = 1, \\ 3x + ay = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 4x - y = 1, \\ 2ax - 3y = 3. \end{cases}$

а)

Дана система линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y = 1, \\ 3x + ay = 2. \end{cases} $$ Для решения системы воспользуемся методом Крамера. Сначала вычислим главный определитель системы $\Delta$: $$ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & a \end{vmatrix} = 1 \cdot a - 2 \cdot 3 = a - 6. $$ Затем вычислим вспомогательные определители $\Delta_x$ и $\Delta_y$: $$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & a \end{vmatrix} = 1 \cdot a - 2 \cdot 2 = a - 4. $$ $$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = -1. $$ Решение системы зависит от значения главного определителя. Рассмотрим два случая.

1. Если главный определитель не равен нулю, $ \Delta \neq 0 $, то есть $ a - 6 \neq 0 \implies a \neq 6 $.
В этом случае система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: $$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{a-4}{a-6} $$ $$ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-1}{a-6} = \frac{1}{6-a} $$

2. Если главный определитель равен нулю, $ \Delta = 0 $, то есть $ a = 6 $.
При этом значении параметра $ a $ вспомогательные определители равны: $$ \Delta_x = 6 - 4 = 2 $$ $$ \Delta_y = -1 $$ Поскольку $ \Delta = 0 $, а $ \Delta_x \neq 0 $ (и $ \Delta_y \neq 0 $), система несовместна и не имеет решений.

Ответ: при $ a \neq 6 $ система имеет единственное решение $ (x, y) = (\frac{a-4}{a-6}, \frac{1}{6-a}) $; при $ a = 6 $ система не имеет решений.

б)

Дана система линейных уравнений: $$ \begin{cases} 4x - y = 1, \\ 2ax - 3y = 3. \end{cases} $$ Решим систему методом Крамера. Найдем главный определитель системы $\Delta$: $$ \Delta = \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2a & -3 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-3) - (-1) \cdot 2a = -12 + 2a = 2(a - 6). $$ Найдем вспомогательные определители $\Delta_x$ и $\Delta_y$: $$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) - (-1) \cdot 3 = -3 + 3 = 0. $$ $$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2a & 3 \end{vmatrix} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 2a = 12 - 2a = -2(a-6). $$ Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $a$.

1. Если главный определитель не равен нулю, $ \Delta \neq 0 $, то есть $ 2(a - 6) \neq 0 \implies a \neq 6 $.
В этом случае система имеет единственное решение: $$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{0}{2(a-6)} = 0 $$ $$ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-2(a-6)}{2(a-6)} = -1 $$

2. Если главный определитель равен нулю, $ \Delta = 0 $, то есть $ a = 6 $.
При этом значении параметра $ a $ все определители равны нулю: $$ \Delta = 0, \quad \Delta_x = 0, \quad \Delta_y = 0 $$ Это означает, что система имеет бесконечно много решений. Чтобы их найти, подставим $ a=6 $ в исходную систему: $$ \begin{cases} 4x - y = 1, \\ 12x - 3y = 3. \end{cases} $$ Второе уравнение ($12x - 3y = 3$) можно получить, умножив первое уравнение ($4x - y = 1$) на 3. Следовательно, система сводится к одному уравнению $ 4x - y = 1 $.
Выразим $ y $ через $ x $: $ y = 4x - 1 $. Решением является любая пара $ (x, y) $, удовлетворяющая этому соотношению.

Ответ: при $ a \neq 6 $ система имеет единственное решение $ (x, y) = (0, -1) $; при $ a = 6 $ система имеет бесконечно много решений вида $ y = 4x - 1 $, где $ x $ — любое действительное число.