Номер 8, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Решение системы уравнений второй степени. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 8, страница 120.

8 Решите систему уравнений $\begin{cases} x^4 + y^4 = 17, \\ xy = -2, \end{cases}$ воспользовавшись в качестве образца примером 2.

Дана система уравнений:$$ \begin{cases} x^4 + y^4 = 17 \\ xy = -2 \end{cases} $$

Данная система является симметрической, поскольку уравнения не изменяются при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Для решения таких систем удобно использовать замену переменных через элементарные симметрические многочлены: $u = x+y$ и $v = xy$.

Из второго уравнения системы мы сразу получаем значение $v = xy = -2$.

Теперь преобразуем первое уравнение, выразив $x^4+y^4$ через $u$ и $v$. Для этого последовательно находим:$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = (u^2 - 2v)^2 - 2v^2$.Подставив это выражение в первое уравнение системы, получаем:$(u^2 - 2v)^2 - 2v^2 = 17$.

Теперь подставим известное значение $v = -2$ в полученное уравнение и решим его относительно $u$:$(u^2 - 2(-2))^2 - 2(-2)^2 = 17$$(u^2 + 4)^2 - 2(4) = 17$$(u^2 + 4)^2 - 8 = 17$$(u^2 + 4)^2 = 25$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:1) $u^2 + 4 = 5 \implies u^2 = 1 \implies u = 1$ или $u = -1$.2) $u^2 + 4 = -5 \implies u^2 = -9$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, нам необходимо рассмотреть два случая, соответствующих двум найденным значениям $u$.

Случай 1: $u = 1$ и $v = -2$.Система для $x$ и $y$ принимает вид:$$ \begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -2 \end{cases} $$Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, то есть $t^2 - t - 2 = 0$.Корни этого уравнения: $t_1 = 2, t_2 = -1$.Следовательно, получаем две пары решений: $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

Случай 2: $u = -1$ и $v = -2$.Система для $x$ и $y$ принимает вид:$$ \begin{cases} x + y = -1 \\ xy = -2 \end{cases} $$Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-1)t - 2 = 0$, то есть $t^2 + t - 2 = 0$.Корни этого уравнения: $t_1 = 1, t_2 = -2$.Следовательно, получаем еще две пары решений: $(1, -2)$ и $(-2, 1)$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, находим все решения исходной системы.

Ответ: $(2, -1), (-1, 2), (1, -2), (-2, 1)$.