Номер 1, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Решение системы уравнений второй степени. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 1, страница 120.

1 Система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 34, \\ xy = 15 \end{cases}$ имеет четыре решения. Одно из них – пара чисел (3; 5). Не решая систему, укажите остальные три решения.

Данная система уравнений:$\begin{cases}x^2 + y^2 = 34 \\xy = 15\end{cases}$обладает свойством симметрии.

Проанализируем оба уравнения.

1. В уравнении $x^2 + y^2 = 34$ переменные $x$ и $y$ входят в четных степенях. Это означает, что если пара чисел $(x_0; y_0)$ является решением, то и пары $(-x_0; -y_0)$, $(x_0; -y_0)$, $(-x_0; y_0)$ также будут удовлетворять этому уравнению. Кроме того, уравнение симметрично относительно перестановки переменных, то есть если $(x_0; y_0)$ является решением, то и $(y_0; x_0)$ тоже является решением.

2. В уравнении $xy = 15$ произведение $xy$ должно быть положительным. Это означает, что $x$ и $y$ должны быть одного знака. Если пара $(x_0; y_0)$ является решением, то и пара $(-x_0; -y_0)$ будет решением, так как $(-x_0)(-y_0) = x_0y_0 = 15$. Однако пары $(x_0; -y_0)$ и $(-x_0; y_0)$ не будут решениями, так как произведение будет равно $-15$. Уравнение также симметрично относительно перестановки переменных: если $x_0y_0 = 15$, то и $y_0x_0 = 15$.

Объединяя эти свойства, можно сделать вывод: если пара $(x_0; y_0)$ является решением системы, то следующие пары также будут решениями:

• $(y_0; x_0)$ (из-за симметрии относительно перестановки переменных в обоих уравнениях).
• $(-x_0; -y_0)$ (из-за симметрии относительно смены знаков у обеих переменных в обоих уравнениях).
• $(-y_0; -x_0)$ (как результат применения обеих операций).

Нам дано одно решение: $(3; 5)$. Применим к нему указанные преобразования, чтобы найти остальные три решения:

1. Меняем местами компоненты в паре $(3; 5)$ и получаем второе решение: $(5; 3)$.

2. Меняем знаки у обеих компонент в паре $(3; 5)$ и получаем третье решение: $(-3; -5)$.

3. Меняем знаки у обеих компонент в паре $(5; 3)$ (или, что то же самое, меняем местами компоненты в паре $(-3; -5)$) и получаем четвертое решение: $(-5; -3)$.

Таким образом, остальные три решения системы — это $(5; 3)$, $(-3; -5)$ и $(-5; -3)$.
Ответ: $(5; 3)$, $(-3; -5)$, $(-5; -3)$.