Номер 5, страница 120 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Решение системы уравнений второй степени. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 5, страница 120.

5 Предложите замену, которая упростила бы систему $ \begin{cases} x^2 + y^2 + 2x + 2y = 11, \\ (x+1)^2 - (y+1)^2 = 5. \end{cases} $

Решите систему, введя новые переменные.

Предложите замену, которая упростила бы систему

Рассмотрим исходную систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 + 2x + 2y = 11 \\ (x + 1)^2 - (y + 1)^2 = 5 \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение, выделив в нем полные квадраты:
$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) - 1 - 1 = 11$
$(x + 1)^2 + (y + 1)^2 - 2 = 11$
$(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 13$
Теперь система имеет вид: $$ \begin{cases} (x+1)^2 + (y+1)^2 = 13 \\ (x + 1)^2 - (y + 1)^2 = 5 \end{cases} $$ В обоих уравнениях присутствуют одинаковые выражения $(x+1)^2$ и $(y+1)^2$. Это позволяет сделать замену переменных для упрощения системы.

Ответ: Для упрощения системы можно ввести новые переменные: $u = (x+1)^2$ и $v = (y+1)^2$.

Решите систему, введя новые переменные

Воспользуемся предложенной заменой. Пусть $u = (x+1)^2$ и $v = (y+1)^2$. Так как $u$ и $v$ являются квадратами действительных чисел, они должны быть неотрицательными: $u \ge 0$, $v \ge 0$.
Система в новых переменных выглядит следующим образом: $$ \begin{cases} u + v = 13 \\ u - v = 5 \end{cases} $$ Это простая система линейных уравнений. Решим ее методом сложения. Сложим первое и второе уравнения:
$(u+v) + (u-v) = 13 + 5$
$2u = 18$
$u = 9$
Теперь подставим найденное значение $u$ в первое уравнение системы:
$9 + v = 13$
$v = 4$
Полученные значения $u=9$ и $v=4$ удовлетворяют условиям неотрицательности.
Выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.
Для $u=9$:
$(x+1)^2 = 9$
$x+1 = \pm\sqrt{9}$
$x+1 = 3$ или $x+1 = -3$
Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 2$, $x_2 = -4$.
Для $v=4$:
$(y+1)^2 = 4$
$y+1 = \pm\sqrt{4}$
$y+1 = 2$ или $y+1 = -2$
Отсюда получаем два значения для $y$: $y_1 = 1$, $y_2 = -3$.
Поскольку переменные $x$ и $y$ в преобразованной системе независимы, решением будут все возможные комбинации найденных значений. Таким образом, получаем четыре пары решений:

• при $x=2$: $y=1$ или $y=-3$. Пары: $(2, 1)$ и $(2, -3)$.
• при $x=-4$: $y=1$ или $y=-3$. Пары: $(-4, 1)$ и $(-4, -3)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, -3)$, $(-4, 1)$, $(-4, -3)$.