Номер 329, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.9 Графическое решение уравнений с одной переменной. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 329, страница 117.

329 С помощью графиков определите, имеет ли уравнение корни, и укажите знаки корней (если они есть):

а) $x^3 = \frac{6}{x}$;

б) $x^3 = -\frac{1}{x}$;

в) $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$;

г) $\sqrt{x} = 1 - x^2$.

а) $x^3 = \frac{6}{x}$

Для решения данного уравнения графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^3$ и $y = \frac{6}{x}$. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат. Она расположена в первой и третьей координатных четвертях и является возрастающей на всей области определения.

2. График функции $y = \frac{6}{x}$ — это гипербола с ветвями в первой и третьей координатных четвертях (поскольку коэффициент $k=6$ положителен). Оси координат являются асимптотами для этого графика.

Рассмотрим графики в каждой четверти:

• В первой четверти ($x > 0$): график $y = x^3$ возрастает от 0 до $+\infty$, а график $y = \frac{6}{x}$ убывает от $+\infty$ до 0. Следовательно, графики обязательно пересекутся в одной точке. Абсцисса этой точки будет положительной.
• В третьей четверти ($x < 0$): график $y = x^3$ возрастает от $-\infty$ до 0, а график $y = \frac{6}{x}$ убывает (от 0 до $-\infty$). Так как одна функция возрастает, а другая убывает, их графики пересекутся ровно в одной точке. Абсцисса этой точки будет отрицательной.

Таким образом, графики функций имеют две точки пересечения. Это означает, что исходное уравнение имеет два корня. Один корень положителен, а другой отрицателен.

Ответ: Уравнение имеет два корня: один положительный и один отрицательный.

б) $x^3 = -\frac{1}{x}$

Рассмотрим графики функций $y = x^3$ и $y = -\frac{1}{x}$.

1. График $y = x^3$ — кубическая парабола, расположенная в I и III четвертях.

2. График $y = -\frac{1}{x}$ — гипербола с ветвями во II и IV четвертях (поскольку коэффициент $k=-1$ отрицателен).

Проанализируем взаимное расположение графиков:

• При $x > 0$: значения функции $y = x^3$ положительны (график в I четверти), а значения функции $y = -\frac{1}{x}$ отрицательны (график в IV четверти). Таким образом, при $x > 0$ графики не пересекаются.
• При $x < 0$: значения функции $y = x^3$ отрицательны (график в III четверти), а значения функции $y = -\frac{1}{x}$ положительны (график в II четверти). Таким образом, при $x < 0$ графики также не пересекаются.

Поскольку графики функций не имеют точек пересечения, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: Уравнение не имеет корней.

в) $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$. Область допустимых значений для данного уравнения — $x > 0$. Следовательно, мы рассматриваем графики только в первой координатной четверти.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат (0,0) и возрастающая на всей области определения.

2. График функции $y = \frac{1}{x}$ при $x > 0$ — это ветвь гиперболы, убывающая от $+\infty$ до 0.

На промежутке $(0, +\infty)$ функция $y = \sqrt{x}$ возрастает, а функция $y = \frac{1}{x}$ убывает. Это означает, что их графики могут пересечься не более одного раза.

При $x = 1$, имеем $y = \sqrt{1} = 1$ и $y = \frac{1}{1} = 1$. Точка $(1, 1)$ является точкой пересечения графиков.

Так как точка пересечения единственная, уравнение имеет один корень $x=1$, который является положительным числом.

Ответ: Уравнение имеет один положительный корень.

г) $\sqrt{x} = 1 - x^2$

Рассмотрим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 1 - x^2$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, выходящая из точки (0,0) и расположенная в первой четверти. Функция определена при $x \ge 0$.

2. График функции $y = 1 - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0, 1). Она пересекает ось абсцисс в точках $x=1$ и $x=-1$.

Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, нас интересуют только те значения $x$, для которых $1 - x^2 \ge 0$, то есть $x^2 \le 1$. С учетом области определения $y = \sqrt{x}$, ищем решения на отрезке $[0, 1]$.

Проанализируем поведение функций на отрезке $[0, 1]$:

• Функция $y = \sqrt{x}$ возрастает на этом отрезке от $y(0)=0$ до $y(1)=1$.
• Функция $y = 1 - x^2$ убывает на этом отрезке от $y(0)=1$ до $y(1)=0$.

В точке $x=0$ имеем $\sqrt{0} = 0$, а $1 - 0^2 = 1$. То есть, $y=\sqrt{x} < y=1-x^2$.
В точке $x=1$ имеем $\sqrt{1} = 1$, а $1 - 1^2 = 0$. То есть, $y=\sqrt{x} > y=1-x^2$.
Так как на отрезке $[0, 1]$ одна функция непрерывно возрастает, а другая непрерывно убывает, и на концах отрезка их значения "меняются местами", их графики обязаны пересечься ровно один раз. Точка пересечения будет иметь абсциссу $x$, лежащую в интервале $(0, 1)$.

Следовательно, уравнение имеет один корень, и этот корень положителен.

Ответ: Уравнение имеет один положительный корень.