Страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

329 С помощью графиков определите, имеет ли уравнение корни, и укажите знаки корней (если они есть):

а) $x^3 = \frac{6}{x}$;

б) $x^3 = -\frac{1}{x}$;

в) $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$;

г) $\sqrt{x} = 1 - x^2$.

а) $x^3 = \frac{6}{x}$

Для решения данного уравнения графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^3$ и $y = \frac{6}{x}$. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат. Она расположена в первой и третьей координатных четвертях и является возрастающей на всей области определения.

2. График функции $y = \frac{6}{x}$ — это гипербола с ветвями в первой и третьей координатных четвертях (поскольку коэффициент $k=6$ положителен). Оси координат являются асимптотами для этого графика.

Рассмотрим графики в каждой четверти:

• В первой четверти ($x > 0$): график $y = x^3$ возрастает от 0 до $+\infty$, а график $y = \frac{6}{x}$ убывает от $+\infty$ до 0. Следовательно, графики обязательно пересекутся в одной точке. Абсцисса этой точки будет положительной.
• В третьей четверти ($x < 0$): график $y = x^3$ возрастает от $-\infty$ до 0, а график $y = \frac{6}{x}$ убывает (от 0 до $-\infty$). Так как одна функция возрастает, а другая убывает, их графики пересекутся ровно в одной точке. Абсцисса этой точки будет отрицательной.

Таким образом, графики функций имеют две точки пересечения. Это означает, что исходное уравнение имеет два корня. Один корень положителен, а другой отрицателен.

Ответ: Уравнение имеет два корня: один положительный и один отрицательный.

б) $x^3 = -\frac{1}{x}$

Рассмотрим графики функций $y = x^3$ и $y = -\frac{1}{x}$.

1. График $y = x^3$ — кубическая парабола, расположенная в I и III четвертях.

2. График $y = -\frac{1}{x}$ — гипербола с ветвями во II и IV четвертях (поскольку коэффициент $k=-1$ отрицателен).

Проанализируем взаимное расположение графиков:

• При $x > 0$: значения функции $y = x^3$ положительны (график в I четверти), а значения функции $y = -\frac{1}{x}$ отрицательны (график в IV четверти). Таким образом, при $x > 0$ графики не пересекаются.
• При $x < 0$: значения функции $y = x^3$ отрицательны (график в III четверти), а значения функции $y = -\frac{1}{x}$ положительны (график в II четверти). Таким образом, при $x < 0$ графики также не пересекаются.

Поскольку графики функций не имеют точек пересечения, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: Уравнение не имеет корней.

в) $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$. Область допустимых значений для данного уравнения — $x > 0$. Следовательно, мы рассматриваем графики только в первой координатной четверти.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат (0,0) и возрастающая на всей области определения.

2. График функции $y = \frac{1}{x}$ при $x > 0$ — это ветвь гиперболы, убывающая от $+\infty$ до 0.

На промежутке $(0, +\infty)$ функция $y = \sqrt{x}$ возрастает, а функция $y = \frac{1}{x}$ убывает. Это означает, что их графики могут пересечься не более одного раза.

При $x = 1$, имеем $y = \sqrt{1} = 1$ и $y = \frac{1}{1} = 1$. Точка $(1, 1)$ является точкой пересечения графиков.

Так как точка пересечения единственная, уравнение имеет один корень $x=1$, который является положительным числом.

Ответ: Уравнение имеет один положительный корень.

г) $\sqrt{x} = 1 - x^2$

Рассмотрим графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 1 - x^2$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, выходящая из точки (0,0) и расположенная в первой четверти. Функция определена при $x \ge 0$.

2. График функции $y = 1 - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0, 1). Она пересекает ось абсцисс в точках $x=1$ и $x=-1$.

Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, нас интересуют только те значения $x$, для которых $1 - x^2 \ge 0$, то есть $x^2 \le 1$. С учетом области определения $y = \sqrt{x}$, ищем решения на отрезке $[0, 1]$.

Проанализируем поведение функций на отрезке $[0, 1]$:

• Функция $y = \sqrt{x}$ возрастает на этом отрезке от $y(0)=0$ до $y(1)=1$.
• Функция $y = 1 - x^2$ убывает на этом отрезке от $y(0)=1$ до $y(1)=0$.

В точке $x=0$ имеем $\sqrt{0} = 0$, а $1 - 0^2 = 1$. То есть, $y=\sqrt{x} < y=1-x^2$.
В точке $x=1$ имеем $\sqrt{1} = 1$, а $1 - 1^2 = 0$. То есть, $y=\sqrt{x} > y=1-x^2$.
Так как на отрезке $[0, 1]$ одна функция непрерывно возрастает, а другая непрерывно убывает, и на концах отрезка их значения "меняются местами", их графики обязаны пересечься ровно один раз. Точка пересечения будет иметь абсциссу $x$, лежащую в интервале $(0, 1)$.

Следовательно, уравнение имеет один корень, и этот корень положителен.

Ответ: Уравнение имеет один положительный корень.

330 Выясните, сколько корней имеет уравнение; для каждого корня укажите два последовательных целых числа, между которыми он находится:

а) $ \frac{1}{x} = x^2 - 4; $

б) $ x^3 - x - 9 = 0. $

Рис. 3.23

а) Чтобы определить количество корней уравнения $\frac{1}{x} = x^2 - 4$, рассмотрим графики функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = x^2 - 4$. Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения этих графиков.

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -4)$.

При построении графиков видно, что они пересекаются в трех точках: две точки при $x < 0$ и одна точка при $x > 0$. Следовательно, уравнение имеет три корня.

Для нахождения промежутков, которым принадлежат корни, рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - 4 - \frac{1}{x}$. Корень уравнения — это значение $x$, при котором $f(x) = 0$. Будем искать отрезки, на концах которых функция $f(x)$ принимает значения разных знаков.

• Найдем первый корень. Проверим значения функции на концах промежутка $[-2, -1]$:
  $f(-2) = (-2)^2 - 4 - \frac{1}{-2} = 4 - 4 + 0.5 = 0.5 > 0$
  $f(-1) = (-1)^2 - 4 - \frac{1}{-1} = 1 - 4 + 1 = -2 < 0$
  Так как $f(-2) > 0$ и $f(-1) < 0$, первый корень находится между числами -2 и -1.
• Найдем второй корень. Проверим значения функции на концах промежутка $[-1, 0)$. Мы уже знаем, что $f(-1) = -2 < 0$. Рассмотрим значение функции при $x$, близком к нулю слева, например $x = -0.1$:
  $f(-0.1) = (-0.1)^2 - 4 - \frac{1}{-0.1} = 0.01 - 4 + 10 = 6.01 > 0$
  Так как $f(-1) < 0$ и $f(-0.1) > 0$, второй корень находится между числами -1 и 0.
• Найдем третий корень. Проверим значения функции на концах промежутка $[2, 3]$:
  $f(2) = 2^2 - 4 - \frac{1}{2} = 4 - 4 - 0.5 = -0.5 < 0$
  $f(3) = 3^2 - 4 - \frac{1}{3} = 9 - 4 - \frac{1}{3} = 4\frac{2}{3} > 0$
  Так как $f(2) < 0$ и $f(3) > 0$, третий корень находится между числами 2 и 3.

Ответ: уравнение имеет 3 корня; первый корень находится между -2 и -1, второй — между -1 и 0, третий — между 2 и 3.

б) Рассмотрим уравнение $x^3 - x - 9 = 0$. Для определения количества корней исследуем функцию $f(x) = x^3 - x - 9$ с помощью производной.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^3 - x - 9)' = 3x^2 - 1$.

Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Вычислим значения функции в точках экстремума:

• Точка локального максимума при $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$:
  $f(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = (-\frac{1}{\sqrt{3}})^3 - (-\frac{1}{\sqrt{3}}) - 9 = -\frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} - 9 = \frac{2}{3\sqrt{3}} - 9$. Так как $\frac{2}{3\sqrt{3}} < 1$, то значение функции отрицательно.
• Точка локального минимума при $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$:
  $f(\frac{1}{\sqrt{3}}) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^3 - \frac{1}{\sqrt{3}} - 9 = \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} - 9 = -\frac{2}{3\sqrt{3}} - 9$. Это значение также отрицательно.

Поскольку оба экстремума (и локальный максимум, и локальный минимум) функции отрицательны, а при $x \to +\infty$ функция $f(x) \to +\infty$, график функции пересекает ось абсцисс только один раз. Следовательно, уравнение имеет один действительный корень.

Чтобы найти, между какими последовательными целыми числами находится этот корень, вычислим значения функции $f(x)$ в целых точках:

$f(2) = 2^3 - 2 - 9 = 8 - 2 - 9 = -3 < 0$

$f(3) = 3^3 - 3 - 9 = 27 - 3 - 9 = 15 > 0$

Так как на концах отрезка $[2, 3]$ функция принимает значения разных знаков ($f(2) < 0$ и $f(3) > 0$), единственный корень уравнения находится между числами 2 и 3.

Ответ: уравнение имеет 1 корень; корень находится между 2 и 3.

331 По графику функции $y = f(x)$, изображённому на рисунке 3.23, выясните, сколько корней имеет уравнение:

1) $f(x) = 0$, $f(x) = 2$, $f(x) = 1$, $f(x) = -1$, $f(x) = -3$;

2) $f(x) = x^2$, $f(x) = \frac{1}{x}$.

Рис. 3.23

Для решения задачи необходимо найти количество точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с графиками функций, стоящих в правой части уравнений.

1)

Количество корней уравнения $f(x) = c$ равно количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=c$.

• Уравнение $f(x) = 0$: Прямая $y=0$ — это ось абсцисс (ось $Ox$). График функции $y = f(x)$ пересекает ось $Ox$ в трех точках.

  Ответ: 3 корня.

• Уравнение $f(x) = 2$: Прямая $y=2$ касается графика функции $y = f(x)$ в одной точке — в точке максимума с координатами $(0, 2)$.

  Ответ: 1 корень.

• Уравнение $f(x) = 1$: Прямая $y=1$ пересекает график функции $y = f(x)$ в двух точках.

  Ответ: 2 корня.

• Уравнение $f(x) = -1$: Прямая $y=-1$ пересекает график функции $y = f(x)$ в двух точках.

  Ответ: 2 корня.

• Уравнение $f(x) = -3$: Прямая $y=-3$ не имеет общих точек с графиком функции $y = f(x)$, так как самая низкая точка на видимой части графика находится примерно на уровне $y \approx -1.8$.

  Ответ: 0 корней.

2)

Количество корней уравнения $f(x) = g(x)$ равно количеству точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$.

• Уравнение $f(x) = x^2$: Построим на том же чертеже график функции $y = x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, проходящая через точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.
  - В интервале $(-1, 0)$ имеем: $f(-1) < 0$, а $(-1)^2=1$, то есть $f(-1) < (-1)^2$. В точке $x=0$ имеем $f(0) = 2$, а $0^2=0$, то есть $f(0) > 0^2$. Так как обе функции непрерывны, их графики должны пересечься в этом интервале. Это одна точка пересечения.
  - В интервале $(0, 1)$ имеем: $f(0) > 0^2$ и $f(1) = 0 < 1^2$. Графики также должны пересечься. Это вторая точка пересечения.
  - При $x < -1$ и $x > 1$ график $y=x^2$ находится выше графика $y=f(x)$, поэтому других точек пересечения нет.

  Ответ: 2 корня.

• Уравнение $f(x) = \frac{1}{x}$: Построим на том же чертеже график функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола, расположенная в первом и третьем координатных квадрантах.
  - При $x > 0$ график $y = \frac{1}{x}$ всегда положителен. График $y = f(x)$ положителен только на интервале $(0, 1)$ (и возможно при $x>2.6$, но на рисунке этого не видно). На интервале $(0, 1)$ функция $y = \frac{1}{x}$ убывает от $+\infty$ до $1$. Функция $y=f(x)$ убывает от $2$ до $0$. Поскольку $y = \frac{1}{x}$ проходит через точку $(0.5, 2)$, а максимум $f(x)$ находится в точке $(0, 2)$, то при $x=0.5$ имеем $f(0.5) < f(0) = 2 = \frac{1}{0.5}$. Похоже, что при $x>0$ график $f(x)$ лежит ниже графика $\frac{1}{x}$, и точек пересечения нет.
  - При $x < 0$ график $y = \frac{1}{x}$ всегда отрицателен. График $y=f(x)$ отрицателен при $x < -0.7$ (приблизительно). Сравним значения в точках: при $x = -1$, $f(-1) \approx -0.5$, а $\frac{1}{-1} = -1$. Таким образом, $f(-1) > \frac{1}{-1}$. При $x = -2$, $f(-2) \approx -1.5$, а $\frac{1}{-2} = -0.5$. Таким образом, $f(-2) < \frac{1}{-2}$. Поскольку на интервале $[-2, -1]$ обе функции непрерывны и $f(-2) < \frac{1}{-2}$, а $f(-1) > \frac{1}{-1}$, их графики должны пересечься в одной точке на этом интервале. Других пересечений на видимой части графика нет.

  Ответ: 1 корень.

332 Найдите подбором корень уравнения и, используя графические соображения, докажите, что других корней нет:

а) $\sqrt{x} = 12 - x$;

б) $x^3 + x + 10 = 0$;

в) $x^2 - \frac{4}{x} + 3 = 0.$

а) $\sqrt{x} = 12 - x$

Сначала найдем корень уравнения подбором. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется двумя условиями: $x \ge 0$ (из-за квадратного корня) и $12 - x \ge 0$ (так как корень не может быть отрицательным), что дает $x \le 12$. Таким образом, мы ищем корень на отрезке $[0, 12]$. Попробуем подставить целые числа, являющиеся полными квадратами, из этого отрезка.
При $x = 9$:
Левая часть: $\sqrt{9} = 3$.
Правая часть: $12 - 9 = 3$.
Поскольку $3 = 3$, то $x = 9$ является корнем уравнения.

Теперь докажем, что других корней нет, используя графические соображения. Рассмотрим две функции: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = 12 - x$. Корни исходного уравнения — это абсциссы точек пересечения графиков этих функций.
Функция $y_1 = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$.
Функция $y_2 = 12 - x$ является убывающей на всей числовой прямой, так как это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом $-1$.
Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Поскольку мы уже нашли одну точку пересечения при $x = 9$, то других точек пересечения, а следовательно, и других корней у уравнения нет.

Ответ: $x = 9$.

б) $x^3 + x + 10 = 0$

Найдем корень подбором, проверяя небольшие по модулю целые числа.
При $x = -1$: $(-1)^3 + (-1) + 10 = -1 - 1 + 10 = 8 \ne 0$.
При $x = -2$: $(-2)^3 + (-2) + 10 = -8 - 2 + 10 = 0$.
Значит, $x = -2$ — корень уравнения.

Для доказательства единственности корня представим уравнение в виде $x^3 = -x - 10$. Рассмотрим две функции: $y_1 = x^3$ и $y_2 = -x - 10$.
Функция $y_1 = x^3$ (кубическая парабола) является строго возрастающей на всей числовой прямой.
Функция $y_2 = -x - 10$ (прямая) является строго убывающей на всей числовой прямой.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Так как мы нашли корень $x = -2$, соответствующий их точке пересечения, то он является единственным.
Альтернативное доказательство: рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + x + 10$. Её производная $f'(x) = 3x^2 + 1$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1 > 0$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой и, следовательно, может пересекать ось абсцисс (т.е. принимать значение 0) не более одного раза.

Ответ: $x = -2$.

в) $x^2 - \frac{4}{x} + 3 = 0$

ОДЗ уравнения: $x \ne 0$. Преобразуем уравнение к виду, удобному для графической интерпретации: $x^2 + 3 = \frac{4}{x}$.
Найдем корень подбором. Проверим целые делители числа 4.
При $x = 1$:
Левая часть: $1^2 + 3 = 4$.
Правая часть: $\frac{4}{1} = 4$.
Так как $4 = 4$, то $x = 1$ является корнем уравнения.

Докажем, что других корней нет. Рассмотрим графики функций $y_1 = x^2 + 3$ и $y_2 = \frac{4}{x}$. Корни уравнения — это абсциссы точек их пересечения. Проанализируем поведение функций на двух промежутках: $x > 0$ и $x < 0$.
1. При $x > 0$:
Функция $y_1 = x^2 + 3$ (правая ветвь параболы) является строго возрастающей.
Функция $y_2 = \frac{4}{x}$ (правая ветвь гиперболы) является строго убывающей.
Возрастающая и убывающая функции на этом промежутке могут пересечься не более одного раза. Мы уже нашли точку пересечения при $x = 1$, значит, это единственный корень на промежутке $(0, +\infty)$.
2. При $x < 0$:
Функция $y_1 = x^2 + 3$ принимает только положительные значения (поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 3 \ge 3$).
Функция $y_2 = \frac{4}{x}$ при $x < 0$ принимает только отрицательные значения.
Поскольку положительное число не может равняться отрицательному, на промежутке $(-\infty, 0)$ у уравнения нет корней.
Следовательно, $x = 1$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x = 1$.

333 Дано уравнение $\sqrt{x} = 0,5x - 4$.

1) Какому из промежутков принадлежит корень этого уравнения — $[0; 10]$ или $[10; 20]$?

2) К какому из концов найденного промежутка корень ближе — к правому или к левому?

1) Какому из промежутков принадлежит корень этого уравнения — [0; 10] или [10; 20]?

Сначала решим данное уравнение: $\sqrt{x} = 0,5x - 4$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем не может быть отрицательным, поэтому $x \ge 0$. Также, результат извлечения арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $0,5x - 4 \ge 0$.

Решим это неравенство: $0,5x \ge 4$, что эквивалентно $x \ge 8$.

Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \ge 8$), получаем итоговую ОДЗ: $x \ge 8$.

Теперь решим само уравнение, возведя обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (0,5x - 4)^2$

$x = (0,5x)^2 - 2 \cdot (0,5x) \cdot 4 + 4^2$

$x = 0,25x^2 - 4x + 16$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0,25x^2 - 4x - x + 16 = 0$

$0,25x^2 - 5x + 16 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части уравнения на 4:

$x^2 - 20x + 64 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу для корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-(-20) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-(-20) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Теперь проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 8$).

Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $x \ge 8$, поэтому он является посторонним.

Корень $x_2 = 16$ удовлетворяет условию $16 \ge 8$. Сделаем проверку, подставив его в исходное уравнение:

$\sqrt{16} = 0,5 \cdot 16 - 4$

$4 = 8 - 4$

$4 = 4$ (верно).

Таким образом, единственным корнем уравнения является $x = 16$.

Теперь определим, какому из предложенных промежутков, $[0; 10]$ или $[10; 20]$, принадлежит этот корень. Поскольку $10 \le 16 \le 20$, корень $x=16$ принадлежит промежутку $[10; 20]$.

Ответ: Корень уравнения принадлежит промежутку $[10; 20]$.

2) К какому из концов найденного промежутка корень ближе — к правому или к левому?

Мы установили, что корень уравнения $x = 16$ и он принадлежит промежутку $[10; 20]$. Левый конец этого промежутка равен 10, а правый — 20.

Чтобы определить, к какому концу корень ближе, найдем расстояние от корня до каждого из концов.

Расстояние до левого конца (10):

$|16 - 10| = 6$

Расстояние до правого конца (20):

$|16 - 20| = |-4| = 4$

Сравнивая расстояния, видим, что $4 < 6$. Это означает, что корень $x=16$ находится ближе к правому концу промежутка (числу 20), чем к левому (числу 10).

Ответ: Корень ближе к правому концу промежутка.

334 Используя схематические графики, определите, сколько корней имеет уравнение; укажите два последовательных целых числа, между которыми находятся корни уравнения:

a) $\sqrt{x} = x - 500$;

б) $\sqrt{x} = 100 - x^2$.

а) Для решения уравнения $\sqrt{x} = x - 500$ рассмотрим графики функций $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = x - 500$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков. График $y_1 = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и возрастающая на всей области определения $x \ge 0$. График $y_2 = x - 500$ — это прямая, которая растет быстрее, чем $y_1 = \sqrt{x}$ для достаточно больших $x$. При $x=500$, значение функции $y_1 = \sqrt{500} \approx 22.4$, а значение функции $y_2 = 500 - 500 = 0$. То есть, в этой точке график $y_1$ находится выше графика $y_2$. Поскольку прямая $y_2$ растет быстрее, чем кривая $y_1$ (для $x > 1/4$), она в итоге пересечет график $y_1$. Так как $y_1$ — вогнутая функция, а $y_2$ — прямая, они могут пересечься только один раз. Следовательно, уравнение имеет один корень. Для нахождения интервала, содержащего корень, будем подставлять целые числа и сравнивать значения левой и правой частей уравнения. Проверим $x=522$: левая часть равна $\sqrt{522}$, правая часть равна $522 - 500 = 22$. Так как $22^2 = 484$, то $\sqrt{522} > \sqrt{484}$, следовательно $\sqrt{522} > 22$. Проверим $x=523$: левая часть равна $\sqrt{523}$, правая часть равна $523 - 500 = 23$. Так как $23^2 = 529$, то $\sqrt{523} < \sqrt{529}$, следовательно $\sqrt{523} < 23$. При $x=522$ выполняется неравенство $\sqrt{x} > x - 500$, а при $x=523$ — неравенство $\sqrt{x} < x - 500$. Это означает, что корень уравнения находится между числами 522 и 523.

Ответ: уравнение имеет один корень; корень находится между числами 522 и 523.

б) Для решения уравнения $\sqrt{x} = 100 - x^2$ рассмотрим графики функций $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = 100 - x^2$. Область определения уравнения находится из условий: $x \ge 0$ (из-за $\sqrt{x}$) и $100 - x^2 \ge 0$ (так как $\sqrt{x} \ge 0$). Второе неравенство дает $x^2 \le 100$, что с учетом первого условия означает $0 \le x \le 10$. На отрезке $[0, 10]$ функция $y_1 = \sqrt{x}$ является непрерывной и возрастающей (ее значения меняются от 0 до $\sqrt{10}$). На этом же отрезке функция $y_2 = 100 - x^2$ (часть параболы с ветвями вниз и вершиной в точке $(0, 100)$) является непрерывной и убывающей (ее значения меняются от 100 до 0). Сравним значения функций на концах отрезка: При $x=0$: $y_1(0) = \sqrt{0} = 0$, $y_2(0) = 100 - 0^2 = 100$. Здесь $y_1 < y_2$. При $x=10$: $y_1(10) = \sqrt{10}$, $y_2(10) = 100 - 10^2 = 0$. Здесь $y_1 > y_2$. Поскольку на отрезке $[0, 10]$ одна функция непрерывно возрастает, а другая непрерывно убывает, и на концах отрезка их значения меняют свое взаимное расположение ($y_1 < y_2$ в начале и $y_1 > y_2$ в конце), графики этих функций пересекаются ровно один раз. Следовательно, уравнение имеет один корень. Для нахождения интервала, содержащего корень, будем подставлять целые числа из отрезка $[0, 10]$. Проверим $x=9$: левая часть $\sqrt{9} = 3$, правая часть $100 - 9^2 = 100 - 81 = 19$. Здесь $3 < 19$, то есть $\sqrt{x} < 100-x^2$. Проверим $x=10$: левая часть $\sqrt{10}$, правая часть $100 - 10^2 = 0$. Здесь $\sqrt{10} > 0$, то есть $\sqrt{x} > 100-x^2$. Поскольку при переходе от $x=9$ к $x=10$ знак разности $\sqrt{x} - (100-x^2)$ меняется, корень уравнения находится между числами 9 и 10.

Ответ: уравнение имеет один корень; корень находится между числами 9 и 10.

При выполнении заданий № 335–336 используйте калькулятор.

335 1) Используя графические соображения, покажите, что уравнение $x^3 = 4 - x^2$ имеет единственный корень.

2) Убедитесь, что корень этого уравнения принадлежит каждому из промежутков: [1; 2], [1; 1,5], [1,3; 1,5], [1,3; 1,4].

Как начинается десятичная запись корня уравнения?

1)

Чтобы показать, что уравнение $x^3 = 4 - x^2$ имеет единственный корень, рассмотрим графики двух функций: $y_1 = x^3$ и $y_2 = 4 - x^2$. Корень уравнения — это абсцисса точки пересечения этих графиков.

Функция $y_1 = x^3$ (кубическая парабола) является строго возрастающей на всей числовой оси. Ее график проходит через начало координат.

Функция $y_2 = 4 - x^2$ (парабола) имеет ветви, направленные вниз. Её вершина находится в точке $(0, 4)$. Эта функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Проанализируем возможное количество точек пересечения:

• На промежутке $(0, +\infty)$ функция $y_1 = x^3$ строго возрастает, а функция $y_2 = 4 - x^2$ строго убывает. Две непрерывные функции, одна из которых строго возрастает, а другая строго убывает, могут пересечься на этом промежутке не более одного раза. Чтобы доказать, что пересечение есть, найдем значения функций в некоторых точках.
  При $x=1$: $y_1(1) = 1^3 = 1$, а $y_2(1) = 4 - 1^2 = 3$. Здесь $y_1 < y_2$.
  При $x=2$: $y_1(2) = 2^3 = 8$, а $y_2(2) = 4 - 2^2 = 0$. Здесь $y_1 > y_2$.
  Поскольку на отрезке $[1, 2]$ функции непрерывны и соотношение их значений изменилось ($y_1$ стала больше $y_2$), их графики должны пересечься. Следовательно, на промежутке $(0, +\infty)$ есть ровно одна точка пересечения.
• На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y_1 = x^3$ принимает неположительные значения ($y_1 \le 0$). Функция $y_2 = 4 - x^2$ на отрезке $[-2, 0]$ принимает неотрицательные значения ($y_2 \ge 0$), причем равенство нулю достигается при $x=-2$, где $y_1 = -8$. Таким образом, на отрезке $[-2, 0]$ $y_1 < y_2$, и пересечений нет. При $x < -2$ обе функции отрицательны. Однако, функция $y_1=x^3$ убывает в отрицательную область быстрее, чем $y_2 = 4-x^2$. Рассмотрим разность $f(x) = x^3 + x^2 - 4$. Максимальное значение этой функции при $x \le 0$ достигается в точке локального максимума $x = -2/3$ и равно $f(-2/3) = (-2/3)^3 + (-2/3)^2 - 4 = -104/27 < 0$. Так как максимальное значение функции при $x \le 0$ отрицательно, то уравнение $f(x)=0$ не имеет корней в этой области.

Таким образом, графики функций $y_1 = x^3$ и $y_2 = 4 - x^2$ пересекаются только в одной точке. Это означает, что исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: График функции $y=x^3$ является монотонно возрастающим. График функции $y=4-x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0, 4)$ и ветвями вниз. При $x \le 0$ значения $x^3$ всегда меньше значений $4-x^2$, поэтому корней нет. При $x > 0$ одна функция возрастает, а другая убывает, поэтому они могут пересечься не более одного раза. Проверка значений на отрезке $[1,2]$ показывает, что пересечение существует, значит, корень единственный.

2)

Перепишем уравнение в виде $x^3 + x^2 - 4 = 0$. Обозначим $f(x) = x^3 + x^2 - 4$. Чтобы убедиться, что корень $x_0$ принадлежит промежутку $[a, b]$, достаточно проверить, что значения функции $f(x)$ на концах этого промежутка имеют разные знаки (по теореме о промежуточном значении для непрерывных функций).

• Промежуток [1; 2]:
  $f(1) = 1^3 + 1^2 - 4 = 1 + 1 - 4 = -2$
  $f(2) = 2^3 + 2^2 - 4 = 8 + 4 - 4 = 8$
  Так как $f(1) < 0$ и $f(2) > 0$, корень принадлежит промежутку $[1; 2]$.
• Промежуток [1; 1,5]:
  $f(1) = -2$
  $f(1.5) = (1.5)^3 + (1.5)^2 - 4 = 3.375 + 2.25 - 4 = 5.625 - 4 = 1.625$
  Так как $f(1) < 0$ и $f(1.5) > 0$, корень принадлежит промежутку $[1; 1,5]$.
• Промежуток [1,3; 1,5]:
  $f(1.3) = (1.3)^3 + (1.3)^2 - 4 = 2.197 + 1.69 - 4 = 3.887 - 4 = -0.113$
  $f(1.5) = 1.625$
  Так как $f(1.3) < 0$ и $f(1.5) > 0$, корень принадлежит промежутку $[1,3; 1,5]$.
• Промежуток [1,3; 1,4]:
  $f(1.3) = -0.113$
  $f(1.4) = (1.4)^3 + (1.4)^2 - 4 = 2.744 + 1.96 - 4 = 4.704 - 4 = 0.704$
  Так как $f(1.3) < 0$ и $f(1.4) > 0$, корень принадлежит промежутку $[1,3; 1,4]$.

Мы последовательно уточнили, что корень $x_0$ уравнения находится в следующих вложенных промежутках:

$x_0 \in [1; 2] \supset [1; 1.5] \supset [1.3; 1.5] \supset [1.3; 1.4]$

Последний промежуток $[1,3; 1,4]$ означает, что $1.3 < x_0 < 1.4$. Это значит, что целая часть корня равна 1, а первая цифра после запятой равна 3.

Ответ: Десятичная запись корня уравнения начинается с 1,3…

При выполнении заданий № 335-336 используйте калькулятор.

336

С помощью графиков определите количество корней уравнения

$x^2 - 4x - \sqrt{x} + 4 = 0.$

Найдите приближение большего корня с одним знаком после запятой.

С помощью графиков определите количество корней уравнения $x^2 - 4x - \sqrt{x} + 4 = 0$.

Для того чтобы решить уравнение графически, преобразуем его к виду, в котором левая и правая части представляют собой функции, которые легко построить.

Исходное уравнение: $x^2 - 4x - \sqrt{x} + 4 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Перенесем член с корнем в правую часть уравнения:

$x^2 - 4x + 4 = \sqrt{x}$

Левая часть уравнения является полным квадратом:

$(x-2)^2 = \sqrt{x}$

Теперь задача сводится к нахождению количества точек пересечения графиков двух функций: $y_1 = (x-2)^2$ и $y_2 = \sqrt{x}$.

1. График функции $y_1 = (x-2)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика функции $y = x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$.

2. График функции $y_2 = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График начинается в точке $(0, 0)$ и возрастает на всей области определения $x \ge 0$.

Построим эскизы графиков в одной системе координат.

Из графика видно, что кривые пересекаются в двух точках. Координаты x этих точек и являются корнями исходного уравнения.

Ответ: 2 корня.

Найдите приближение большего корня с одним знаком после запятой.

Мы ищем корни уравнения $(x-2)^2 = \sqrt{x}$.

Один корень можно легко найти подбором. При $x=1$:

Левая часть: $(1-2)^2 = (-1)^2 = 1$.

Правая часть: $\sqrt{1} = 1$.

Так как $1 = 1$, то $x_1 = 1$ — первый (меньший) корень уравнения.

Второй корень, как видно из графика, больше 2. Найдем его приближенное значение с помощью калькулятора, подставляя значения в уравнение $(x-2)^2 = \sqrt{x}$ или, что эквивалентно, находя корень функции $f(x) = (x-2)^2 - \sqrt{x}$.

Проверим целые значения:

При $x = 3$: $f(3) = (3-2)^2 - \sqrt{3} = 1^2 - \sqrt{3} = 1 - 1.732 = -0.732 < 0$.

При $x = 4$: $f(4) = (4-2)^2 - \sqrt{4} = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2 > 0$.

Так как функция $f(x)$ меняет знак на интервале $(3, 4)$, второй корень $x_2$ находится между 3 и 4. Уточним его значение до десятых.

При $x = 3.3$: $f(3.3) = (3.3 - 2)^2 - \sqrt{3.3} = 1.3^2 - \sqrt{3.3} = 1.69 - 1.8166... \approx -0.127 < 0$.

При $x = 3.4$: $f(3.4) = (3.4 - 2)^2 - \sqrt{3.4} = 1.4^2 - \sqrt{3.4} = 1.96 - 1.8439... \approx 0.116 > 0$.

Корень находится между 3.3 и 3.4. Чтобы определить, к какому из этих чисел он ближе, проверим значение в середине интервала, в точке $x = 3.35$:

При $x=3.35$: $f(3.35) = (3.35 - 2)^2 - \sqrt{3.35} = 1.35^2 - \sqrt{3.35} = 1.8225 - 1.8303... \approx -0.0078 < 0$.

Поскольку $f(3.35) < 0$ и $f(3.4) > 0$, корень лежит в интервале $(3.35, 3.4)$. Это означает, что при округлении до одного знака после запятой, значение корня будет 3.4.

Ответ: $x \approx 3.4$.

337 Как начинается десятичная запись положительного корня уравнения $\sqrt{x} = 0,5x^2$?

(Найдите два знака после запятой.)

1. Решение уравнения

Дано уравнение $\sqrt{x} = 0,5x^2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Очевидно, что $x=0$ является корнем уравнения: $\sqrt{0} = 0,5 \cdot 0^2 \implies 0 = 0$.

Для нахождения положительного корня ($x > 0$), возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (0,5x^2)^2$

$x = 0,25x^4$

Перенесем все слагаемые в одну часть и вынесем $x$ за скобки:

$0,25x^4 - x = 0$

$x(0,25x^3 - 1) = 0$

Отсюда получаем два случая: $x=0$ (тривиальный корень) или $0,25x^3 - 1 = 0$.

Решим второе уравнение для нахождения положительного корня:

$0,25x^3 = 1$

$x^3 = \frac{1}{0,25}$

$x^3 = 4$

Следовательно, положительный корень уравнения равен $x = \sqrt[3]{4}$.

2. Нахождение десятичной записи корня

Теперь необходимо найти, как начинается десятичная запись числа $\sqrt[3]{4}$, а именно, найти первые две цифры после запятой. Для этого будем подбирать значения.

Сначала оценим целую часть корня:

$1^3 = 1$

$2^3 = 8$

Так как $1 < 4 < 8$, то $1 < \sqrt[3]{4} < 2$. Целая часть корня равна 1.

Теперь найдем первую цифру после запятой:

$1,5^3 = 3,375$ (меньше 4)

$1,6^3 = 4,096$ (больше 4)

Так как $1,5^3 < 4 < 1,6^3$, то $1,5 < \sqrt[3]{4} < 1,6$. Первая цифра после запятой равна 5.

Найдем вторую цифру после запятой. Корень находится между 1,5 и 1,6. Проверим значения, возводя их в куб:

$1,58^3 = 1,58 \cdot 1,58 \cdot 1,58 = 3,944312$ (меньше 4)

$1,59^3 = 1,59 \cdot 1,59 \cdot 1,59 = 4,019679$ (больше 4)

Так как $1,58^3 < 4 < 1,59^3$, мы можем заключить, что $1,58 < \sqrt[3]{4} < 1,59$.

Это означает, что десятичная запись положительного корня уравнения начинается как 1,58...

Ответ: 1,58.