Страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

311 Стройплощадка имеет форму прямоугольника. Длина ограждения вокруг стройплощадки 120 м, а её площадь равна 800 $m^2$. Найдите стороны стройплощадки.

Пусть стороны прямоугольной стройплощадки равны a и b метров.

Длина ограждения вокруг стройплощадки — это её периметр. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$. Согласно условию задачи, периметр равен 120 м. Составим первое уравнение: $2(a + b) = 120$

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$. Согласно условию, площадь равна 800 м². Составим второе уравнение: $a \cdot b = 800$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} 2(a + b) = 120 \\ a \cdot b = 800 \end{cases} $$

Решим эту систему. Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2: $a + b = 60$

Теперь система уравнений выглядит следующим образом: $$ \begin{cases} a + b = 60 \\ a \cdot b = 800 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим одну переменную через другую, например, выразим b: $b = 60 - a$

Теперь подставим полученное выражение для b во второе уравнение системы: $a \cdot (60 - a) = 800$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $60a - a^2 = 800$ $-a^2 + 60a - 800 = 0$ $a^2 - 60a + 800 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 800 = 3600 - 3200 = 400$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их: $a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{60 + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{60 + 20}{2} = \frac{80}{2} = 40$ $a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{60 - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{60 - 20}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Мы получили два возможных значения для стороны a. Теперь найдем соответствующие значения для стороны b:

1. Если $a_1 = 40$ м, то $b_1 = 60 - a_1 = 60 - 40 = 20$ м.

2. Если $a_2 = 20$ м, то $b_2 = 60 - a_2 = 60 - 20 = 40$ м.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 20 м и 40 м.

Проверим решение: Периметр: $P = 2(20 + 40) = 2 \cdot 60 = 120$ м. Площадь: $S = 20 \cdot 40 = 800$ м². Расчеты верны.

Ответ: стороны стройплощадки равны 20 м и 40 м.

312 Сад заложен на участке прямоугольной формы. Площадь участка равна $700 \text{ м}^2$, а одна из его сторон на 15 м длиннее другой. Найдите стороны участка.

Пусть меньшая сторона прямоугольного участка равна $x$ метров. Согласно условию задачи, другая сторона на 15 м длиннее, следовательно, ее длина составляет $(x + 15)$ метров.

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон. По условию, площадь участка равна 700 м². Составим и решим уравнение:
$x \cdot (x + 15) = 700$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 15x - 700 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-700) = 225 + 2800 = 3025$

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-15 + \sqrt{3025}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 + 55}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$x_2 = \frac{-15 - \sqrt{3025}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 - 55}{2} = \frac{-70}{2} = -35$

Поскольку длина стороны участка не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -35$ не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, длина одной стороны участка равна 20 м.

Найдем длину второй стороны:
$x + 15 = 20 + 15 = 35$ м.

Ответ: стороны участка равны 20 м и 35 м.

313 Одна из сторон прямоугольника на 2 см короче другой, а его диагональ равна 10 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть одна из сторон прямоугольника равна $x$ см. Поскольку другая сторона на 2 см короче, ее длина будет $(x - 2)$ см. Важно отметить, что длина стороны должна быть положительным числом, поэтому $x > 2$.

Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник, в котором стороны являются катетами, а диагональ — гипотенузой. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Применим теорему Пифагора к нашему прямоугольнику, подставив длины сторон и диагонали: $x^2 + (x - 2)^2 = 10^2$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки: $x^2 + x^2 - 4x + 4 = 100$

Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $2x^2 - 4x + 4 - 100 = 0$ $2x^2 - 4x - 96 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2: $x^2 - 2x - 48 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$ $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$

Вычислим значения $x$: $x_1 = \frac{-(-2) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$ $x_2 = \frac{-(-2) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -6$ не является решением задачи. Следовательно, одна сторона прямоугольника равна 8 см.

Тогда вторая сторона равна: $x - 2 = 8 - 2 = 6$ см.

Проверка: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Диагональ равна $\sqrt{100} = 10$ см, что соответствует условию.

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

314 Спортивная площадка прямоугольной формы занимает площадь, равную 600 $м^2$. Когда вокруг неё проложили дорожку шириной в 1 м, то площадка вместе с дорожкой стала занимать площадь 704 $м^2$. Найдите размеры площадки.

Обозначим длину и ширину прямоугольной спортивной площадки как $L$ и $W$ соответственно.

По условию, площадь спортивной площадки равна 600 м². Площадь прямоугольника — это произведение его длины на ширину. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$S_{площадки} = L \times W = 600$

Вокруг площадки была проложена дорожка шириной 1 м. Это означает, что размеры нового, большего прямоугольника (площадка вместе с дорожкой) увеличились. Новая длина стала $L + 1 + 1 = L + 2$ метра, а новая ширина стала $W + 1 + 1 = W + 2$ метра, так как дорожка добавляет по 1 метру с каждой из двух противоположных сторон.

Общая площадь площадки вместе с дорожкой составляет 704 м². Составим второе уравнение, используя новые, увеличенные размеры:

$S_{общая} = (L + 2) \times (W + 2) = 704$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} L \times W = 600 \\ (L + 2)(W + 2) = 704 \end{cases}$

Раскроем скобки во втором уравнении системы:

$L \times W + 2L + 2W + 4 = 704$

Из первого уравнения мы знаем, что $L \times W = 600$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$600 + 2L + 2W + 4 = 704$

Теперь решим это уравнение относительно $L$ и $W$:

$604 + 2L + 2W = 704$

$2L + 2W = 704 - 604$

$2L + 2W = 100$

Разделим обе части уравнения на 2:

$L + W = 50$

Теперь наша система уравнений выглядит значительно проще:

$\begin{cases} L + W = 50 \\ L \times W = 600 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим одну переменную через другую, например, $L$:

$L = 50 - W$

Подставим это выражение для $L$ во второе уравнение:

$(50 - W) \times W = 600$

$50W - W^2 = 600$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$W^2 - 50W + 600 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \times 1 \times 600 = 2500 - 2400 = 100$

Теперь найдем корни уравнения, которые будут возможными значениями для ширины $W$:

$W_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 + \sqrt{100}}{2} = \frac{50 + 10}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$W_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 - \sqrt{100}}{2} = \frac{50 - 10}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Мы получили два возможных значения для одной из сторон. Найдем соответствующие значения для второй стороны, используя соотношение $L = 50 - W$:

1. Если ширина $W = 30$ м, то длина $L = 50 - 30 = 20$ м.

2. Если ширина $W = 20$ м, то длина $L = 50 - 20 = 30$ м.

Оба случая приводят к одному и тому же набору размеров для площадки: 20 метров и 30 метров.

Проверка:

Площадь площадки: $20 \text{ м} \times 30 \text{ м} = 600 \text{ м}^2$. (Соответствует условию)

Размеры с дорожкой: $(20+2) \text{ м} \times (30+2) \text{ м} = 22 \text{ м} \times 32 \text{ м} = 704 \text{ м}^2$. (Соответствует условию)

Ответ: Размеры спортивной площадки — 20 м и 30 м.

315 Пароход прошёл 100 км по течению реки и 64 км против течения за 9 ч. В другой раз за то же время он прошёл 80 км против течения реки и вернулся обратно. Определите скорость парохода в стоячей воде и скорость течения.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_п$ — собственная скорость парохода в стоячей воде (в км/ч), а $v_т$ — скорость течения реки (в км/ч).

Тогда скорость парохода по течению реки равна $v_п + v_т$ км/ч, а скорость против течения — $v_п - v_т$ км/ч.

Исходя из условия задачи, составим систему уравнений. Время находится по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Первое условие: пароход прошёл 100 км по течению и 64 км против течения за 9 часов.
Уравнение: $\frac{100}{v_п + v_т} + \frac{64}{v_п - v_т} = 9$.

Второе условие: за то же время (9 часов) он прошёл 80 км против течения и вернулся обратно (т.е. 80 км по течению).
Уравнение: $\frac{80}{v_п - v_т} + \frac{80}{v_п + v_т} = 9$.

Получили систему уравнений. Для удобства решения введем новые переменные:
Пусть $x = v_п + v_т$ (скорость по течению) и $y = v_п - v_т$ (скорость против течения).
Система примет вид:
$\begin{cases} \frac{100}{x} + \frac{64}{y} = 9 \\ \frac{80}{x} + \frac{80}{y} = 9 \end{cases}$

Решим эту систему. Из второго уравнения можно выразить $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$:
$80(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 9 \implies \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{80}$.
Выразим $\frac{1}{x}$ через $\frac{1}{y}$: $\frac{1}{x} = \frac{9}{80} - \frac{1}{y}$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$100(\frac{9}{80} - \frac{1}{y}) + \frac{64}{y} = 9$
$\frac{900}{80} - \frac{100}{y} + \frac{64}{y} = 9$
$\frac{90}{8} - \frac{36}{y} = 9$
$11.25 - \frac{36}{y} = 9$
$\frac{36}{y} = 11.25 - 9$
$\frac{36}{y} = 2.25$
$y = \frac{36}{2.25} = 16$.

Теперь найдем $x$, используя выражение $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{80}$:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{16} = \frac{9}{80}$
$\frac{1}{x} = \frac{9}{80} - \frac{1}{16} = \frac{9}{80} - \frac{5}{80} = \frac{4}{80} = \frac{1}{20}$
$x = 20$.

Мы нашли скорость по течению $x = 20$ км/ч и скорость против течения $y = 16$ км/ч. Теперь вернемся к исходным переменным $v_п$ и $v_т$:
$\begin{cases} v_п + v_т = 20 \\ v_п - v_т = 16 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:
$(v_п + v_т) + (v_п - v_т) = 20 + 16$
$2v_п = 36$
$v_п = 18$.

Теперь найдем $v_т$, подставив $v_п = 18$ в первое уравнение:
$18 + v_т = 20$
$v_т = 2$.

Ответ: скорость парохода в стоячей воде — 18 км/ч, скорость течения — 2 км/ч.

316 В аудитории расставили одинаковыми рядами 84 стула. Затем добавили 36 стульев и при этом сделали перестановку: в каждом ряду уменьшили число стульев на 2, но увеличили число рядов на 4. Сколько рядов и сколько стульев в каждом ряду было в аудитории первоначально?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $r$ — первоначальное количество рядов, а $c$ — первоначальное количество стульев в каждом ряду.

Изначально в аудитории было 84 стула, расставленных одинаковыми рядами. Это можно записать в виде уравнения:

$r \cdot c = 84$

Затем добавили 36 стульев. Общее количество стульев стало:

$84 + 36 = 120$

После перестановки количество рядов увеличилось на 4 (стало $r+4$), а количество стульев в каждом ряду уменьшилось на 2 (стало $c-2$). Новое расположение стульев можно описать вторым уравнением:

$(r + 4) \cdot (c - 2) = 120$

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} r \cdot c = 84 \\ (r + 4)(c - 2) = 120\end{cases}$

Из первого уравнения выразим переменную $c$ через $r$:

$c = \frac{84}{r}$

Подставим это выражение для $c$ во второе уравнение системы:

$(r + 4) \cdot (\frac{84}{r} - 2) = 120$

Теперь решим это уравнение относительно $r$. Раскроем скобки:

$r \cdot \frac{84}{r} - 2 \cdot r + 4 \cdot \frac{84}{r} - 4 \cdot 2 = 120$

$84 - 2r + \frac{336}{r} - 8 = 120$

Приведем подобные слагаемые:

$76 - 2r + \frac{336}{r} = 120$

Перенесем 120 в левую часть уравнения:

$-44 - 2r + \frac{336}{r} = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $r$ (поскольку количество рядов $r$ не может быть равно нулю):

$-44r - 2r^2 + 336 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на -2 и расположим их в стандартном порядке для квадратного уравнения:

$r^2 + 22r - 168 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 484 + 672 = 1156$

Найдем корни уравнения:

$r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 \pm \sqrt{1156}}{2} = \frac{-22 \pm 34}{2}$

$r_1 = \frac{-22 + 34}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$r_2 = \frac{-22 - 34}{2} = \frac{-56}{2} = -28$

Так как количество рядов $r$ является положительной величиной, нам подходит только корень $r = 6$.

Теперь найдем первоначальное количество стульев в ряду $c$, подставив значение $r$ в первое уравнение:

$c = \frac{84}{r} = \frac{84}{6} = 14$

Таким образом, первоначально в аудитории было 6 рядов по 14 стульев в каждом.

Ответ: первоначально было 6 рядов и 14 стульев в каждом ряду.

317 Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, его гипотенуза равна 10 см. Найдите катеты этого треугольника.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.

Согласно условию задачи, периметр треугольника $P$ равен 24 см, а гипотенуза $c$ равна 10 см.

Периметр треугольника определяется как сумма длин всех его сторон, что можно записать в виде формулы:
$P = a + b + c$

Подставив известные значения $P = 24$ и $c = 10$, мы можем найти сумму длин катетов:
$24 = a + b + 10$
$a + b = 24 - 10$
$a + b = 14$

Также для любого прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение значение гипотенузы $c = 10$:
$a^2 + b^2 = 10^2$
$a^2 + b^2 = 100$

В результате мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
1) $a + b = 14$
2) $a^2 + b^2 = 100$

Для решения системы выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Например, выразим $b$:
$b = 14 - a$

Теперь подставим полученное выражение для $b$ во второе уравнение системы:
$a^2 + (14 - a)^2 = 100$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0$
$2a^2 - 28a + 96 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:
$a^2 - 14a + 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью теоремы Виета: нам нужно найти два числа, сумма которых равна 14, а произведение — 48. Этими числами являются 6 и 8, так как $6 + 8 = 14$ и $6 \cdot 8 = 48$. Таким образом, корни уравнения: $a_1 = 6$ и $a_2 = 8$.

Найдем соответствующие значения для второго катета $b$, используя выражение $b = 14 - a$:
- Если $a = 6$ см, то $b = 14 - 6 = 8$ см.
- Если $a = 8$ см, то $b = 14 - 8 = 6$ см.

В обоих случаях мы приходим к выводу, что катеты треугольника имеют длины 6 см и 8 см.

Ответ: катеты этого треугольника равны 6 см и 8 см.

318 На отрезке $AB$ как на диаметре построена полуокружность. Её радиус равен 10 см. Найдите на полуокружности точку $C$, такую, чтобы расстояние от этой точки до одного из концов диаметра было на 4 см больше, чем расстояние от этой точки до другого из концов диаметра. Сколько решений имеет задача? (Сделайте рисунок.)

Дано:
Полуокружность построена на отрезке $AB$ как на диаметре.
Радиус полуокружности $R = 10$ см.
Точка $C$ лежит на полуокружности.
$|AC - BC| = 4$ см.

Рисунок:

Решение:
Так как точка $C$ лежит на полуокружности с диаметром $AB$, то треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным, поскольку вписанный угол $\angle ACB$ опирается на диаметр. Следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$.
Длина диаметра $AB$ равна двум радиусам: $AB = 2R = 2 \cdot 10 = 20$ см.
К прямоугольному треугольнику $\triangle ABC$ применим теорему Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$ $AC^2 + BC^2 = 20^2$ $AC^2 + BC^2 = 400$
По условию задачи, расстояние от точки $C$ до одного из концов диаметра на 4 см больше, чем до другого. Рассмотрим два возможных случая.

1. Расстояние до точки A на 4 см больше, чем до точки B.
Пусть $BC = x$ см, тогда $AC = x + 4$ см. Подставим эти значения в уравнение теоремы Пифагора: $(x + 4)^2 + x^2 = 400$ $x^2 + 8x + 16 + x^2 = 400$ $2x^2 + 8x - 384 = 0$ $x^2 + 4x - 192 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$. $\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$.
Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12$ $x_2 = \frac{-4 - 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16$
Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то подходит только корень $x=12$. Следовательно, $BC = 12$ см, а $AC = 12 + 4 = 16$ см.

2. Расстояние до точки B на 4 см больше, чем до точки A.
Пусть $AC = y$ см, тогда $BC = y + 4$ см. Подставим эти значения в уравнение теоремы Пифагора: $y^2 + (y + 4)^2 = 400$ $y^2 + y^2 + 8y + 16 = 400$ $2y^2 + 8y - 384 = 0$ $y^2 + 4y - 192 = 0$
Это уравнение аналогично предыдущему. Его положительный корень $y = 12$. Следовательно, $AC = 12$ см, а $BC = 12 + 4 = 16$ см.

Вывод:
Задача имеет два решения, то есть существуют две точки на полуокружности, удовлетворяющие условию. Эти точки ($C_1$ и $C_2$) симметричны относительно прямой, проходящей через центр окружности перпендикулярно диаметру $AB$.
В обоих случаях искомые расстояния от точки $C$ до концов диаметра равны 12 см и 16 см.

Ответ: Задача имеет два решения. Искомые расстояния от точки C до концов диаметра равны 12 см и 16 см.

319 Площадь прямоугольного треугольника равна $30 \, \text{см}^2$, а его гипотенуза равна $13 \, \text{см}$. Найдите катеты треугольника.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.

По условию задачи нам даны:
Площадь треугольника $S = 30$ см$^2$.
Гипотенуза $c = 13$ см.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле, связывающей его катеты:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$
Подставим известное значение площади и выразим произведение катетов:
$30 = \frac{1}{2}ab$
$ab = 60$

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника справедливо следующее соотношение:
$a^2 + b^2 = c^2$
Подставим известное значение гипотенузы:
$a^2 + b^2 = 13^2$
$a^2 + b^2 = 169$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
$\begin{cases} ab = 60 \\ a^2 + b^2 = 169 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
Подставим в эту формулу значения из наших уравнений:
$(a+b)^2 = 169 + 2 \cdot 60 = 169 + 120 = 289$.

Отсюда найдем сумму катетов $a+b$. Так как длины сторон треугольника являются положительными числами, их сумма также положительна, поэтому мы берем только арифметический корень:
$a+b = \sqrt{289} = 17$.

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:
$\begin{cases} a+b = 17 \\ ab = 60 \end{cases}$

По теореме, обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.
Подставим наши значения суммы и произведения:
$t^2 - 17t + 60 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49$.
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-(-17) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$t_2 = \frac{-(-17) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Корни уравнения $t_1 = 5$ и $t_2 = 12$ являются длинами искомых катетов.

Ответ: Катеты треугольника равны 5 см и 12 см.

320 Можно ли в круг радиуса 12,5 см вписать прямоугольник площадью $168 \text{ см}^2$?

Для того чтобы прямоугольник был вписан в круг, все его вершины должны лежать на окружности. В этом случае диагональ прямоугольника совпадает с диаметром круга.

Найдем диаметр $d$ круга с радиусом $R = 12,5$ см:

$d = 2R = 2 \cdot 12,5 = 25$ см.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Согласно теореме Пифагора, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон:

$a^2 + b^2 = d^2 = 25^2 = 625$.

Площадь прямоугольника $S$ задана по условию:

$S = a \cdot b = 168$ см².

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы определить, существует ли прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, удовлетворяющий системе уравнений:

$ \begin{cases} a \cdot b = 168 \\ a^2 + b^2 = 625 \end{cases} $

Для решения этой системы воспользуемся формулами сокращенного умножения. Найдем сумму и разность сторон $a$ и $b$.

Квадрат суммы сторон:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab = 625 + 2 \cdot 168 = 625 + 336 = 961$.

Отсюда сумма сторон (так как стороны - положительные величины):

$a+b = \sqrt{961} = 31$.

Квадрат разности сторон:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) - 2ab = 625 - 2 \cdot 168 = 625 - 336 = 289$.

Отсюда модуль разности сторон:

$|a-b| = \sqrt{289} = 17$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений (предположим, что $a > b$, тогда $a-b=17$):

$ \begin{cases} a + b = 31 \\ a - b = 17 \end{cases} $

Сложив два уравнения, получим:

$2a = 31 + 17 = 48 \Rightarrow a = 24$ см.

Подставив значение $a$ в первое уравнение, найдем $b$:

$24 + b = 31 \Rightarrow b = 31 - 24 = 7$ см.

Мы нашли реальные положительные значения для сторон прямоугольника ($a=24$ см и $b=7$ см), которые удовлетворяют заданным условиям. Проверим:

Площадь: $S = 24 \cdot 7 = 168$ см².

Сумма квадратов сторон: $a^2 + b^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625 = 25^2$.

Поскольку существует такой прямоугольник, значит, его можно вписать в заданный круг.

Ответ: да, можно.

321 Расстояние между пунктами А и В равно 15 км. Два велосипедиста одновременно выехали из этих пунктов навстречу друг другу, встретились через 30 мин и, не останавливаясь, продолжили путь. Один из велосипедистов прибыл в пункт В на 25 мин раньше, чем другой — в пункт А. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого велосипедиста (выехавшего из пункта А), а $v_2$ (км/ч) — скорость второго велосипедиста (выехавшего из пункта В).

Для решения задачи необходимо перевести все единицы времени в часы.
Время до встречи: $30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$.
Разница во времени прибытия: $25 \text{ мин} = \frac{25}{60} \text{ ч} = \frac{5}{12} \text{ ч}$.

Велосипедисты движутся навстречу друг другу. Скорость их сближения равна сумме их скоростей $v_1 + v_2$. До момента встречи они вместе преодолели все расстояние $S = 15$ км.
Составим первое уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:
$S = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$
$15 = (v_1 + v_2) \cdot 0.5$
$v_1 + v_2 = \frac{15}{0.5}$
$v_1 + v_2 = 30$

Теперь рассмотрим второе условие. Время, которое затратил первый велосипедист на весь путь из А в В, равно $T_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{15}{v_1}$ ч.
Время, которое затратил второй велосипедист на весь путь из В в А, равно $T_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{15}{v_2}$ ч.

Один из велосипедистов прибыл в пункт назначения на 25 минут ($\frac{5}{12}$ часа) раньше другого. Это означает, что один из них был быстрее. Допустим, что первый велосипедист был быстрее, то есть $v_1 > v_2$, следовательно, его время в пути $T_1$ меньше, чем $T_2$.
Разница во времени составляет:
$T_2 - T_1 = \frac{5}{12}$
$\frac{15}{v_2} - \frac{15}{v_1} = \frac{5}{12}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = 30 \\ \frac{15}{v_2} - \frac{15}{v_1} = \frac{5}{12} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$:
$v_2 = 30 - v_1$

Подставим это выражение во второе уравнение. Перед этим можно упростить второе уравнение, разделив обе его части на 5:
$\frac{3}{v_2} - \frac{3}{v_1} = \frac{1}{12}$
Подставляем $v_2 = 30 - v_1$:
$\frac{3}{30 - v_1} - \frac{3}{v_1} = \frac{1}{12}$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{3v_1 - 3(30 - v_1)}{v_1(30 - v_1)} = \frac{1}{12}$
$\frac{3v_1 - 90 + 3v_1}{30v_1 - v_1^2} = \frac{1}{12}$
$\frac{6v_1 - 90}{30v_1 - v_1^2} = \frac{1}{12}$
Используя свойство пропорции, получаем:
$12(6v_1 - 90) = 1 \cdot (30v_1 - v_1^2)$
$72v_1 - 1080 = 30v_1 - v_1^2$
$v_1^2 + 72v_1 - 30v_1 - 1080 = 0$
$v_1^2 + 42v_1 - 1080 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 42^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1080) = 1764 + 4320 = 6084$
$\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$
Найдем корни уравнения:
$v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-42 + 78}{2} = \frac{36}{2} = 18$
$v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-42 - 78}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, единственным подходящим решением является $v_1 = 18$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго велосипедиста:
$v_2 = 30 - v_1 = 30 - 18 = 12$ км/ч.

Наше предположение, что $v_1 > v_2$ (18 > 12), оказалось верным.

Ответ: скорость одного велосипедиста 18 км/ч, а скорость другого — 12 км/ч.

Дорога от дома до школы состоит из двух участков: 300 м подъёма и 600 м спуска. Олег заметил, что дорога от дома до школы занимает у него 16 мин, а обратная дорога — 17 мин. С какой скоростью он идёт на подъёме и с какой — на спуске?

Для решения этой задачи введём переменные и составим систему уравнений. Пусть $v_п$ — это скорость Олега на подъёме в метрах в минуту (м/мин), а $v_с$ — его скорость на спуске (м/мин).

Основная формула, которую мы будем использовать: время = расстояние / скорость ($t = \frac{S}{v}$).

1. Путь от дома до школы.

Путь состоит из 300 м подъёма и 600 м спуска. Общее время в пути — 16 минут. Время, затраченное на подъём, равно $\frac{300}{v_п}$, а на спуск — $\frac{600}{v_с}$. Составим первое уравнение:

$\frac{300}{v_п} + \frac{600}{v_с} = 16$

2. Путь от школы до дома.

На обратном пути участок, который был спуском (600 м), становится подъёмом, а участок, который был подъёмом (300 м), — спуском. Этот путь Олег проходит за 17 минут. Составляем второе уравнение:

$\frac{600}{v_п} + \frac{300}{v_с} = 17$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$\begin{cases}\frac{300}{v_п} + \frac{600}{v_с} = 16 \\\frac{600}{v_п} + \frac{300}{v_с} = 17\end{cases}$$

Для удобства решения введём замену переменных. Пусть $x = \frac{1}{v_п}$ и $y = \frac{1}{v_с}$. Система примет вид:

$$\begin{cases}300x + 600y = 16 \\600x + 300y = 17\end{cases}$$

Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали одинаковыми, и затем вычтем первое уравнение из полученного:

$2 \cdot (600x + 300y) = 2 \cdot 17 \implies 1200x + 600y = 34$

Теперь выполним вычитание:

$(1200x + 600y) - (300x + 600y) = 34 - 16$

$900x = 18$

$x = \frac{18}{900} = \frac{1}{50}$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение ($300x + 600y = 16$):

$300 \cdot (\frac{1}{50}) + 600y = 16$

$6 + 600y = 16$

$600y = 10$

$y = \frac{10}{600} = \frac{1}{60}$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти искомые скорости $v_п$ и $v_с$:

$v_п = \frac{1}{x} = \frac{1}{1/50} = 50$ м/мин.

$v_с = \frac{1}{y} = \frac{1}{1/60} = 60$ м/мин.

4. Проверка.

Проверим полученные результаты, подставив их в условия задачи.

Время до школы: $\frac{300}{50} + \frac{600}{60} = 6 \text{ мин} + 10 \text{ мин} = 16$ минут. (Верно)

Время до дома: $\frac{600}{50} + \frac{300}{60} = 12 \text{ мин} + 5 \text{ мин} = 17$ минут. (Верно)

Ответ: Скорость Олега на подъёме — 50 м/мин, на спуске — 60 м/мин.