Страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

290 Решите систему уравнений двумя способами — сначала способом подстановки, затем способом сложения:

а) $\begin{cases} x + 3y = 8, \\ 2x - y = -5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3m - 4n = 20, \\ m + 2n = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x + 5y = 6, \\ 3x + 7y = 4. \end{cases}$

Какой способ в каждом конкретном случае вам показался предпочтительнее?

а) $ \begin{cases} x + 3y = 8, \\ 2x - y = -5; \end{cases} $

Способ подстановки:
Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 8 - 3y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(8 - 3y) - y = -5$
$16 - 6y - y = -5$
$16 - 7y = -5$
$-7y = -5 - 16$
$-7y = -21$
$y = 3$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 8 - 3(3) = 8 - 9 = -1$
Решение: $(-1, 3)$.

Способ сложения:
Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:
$ \begin{cases} x + 3y = 8, \\ 3(2x - y) = 3(-5); \end{cases} \implies \begin{cases} x + 3y = 8, \\ 6x - 3y = -15; \end{cases} $
Сложим два уравнения почленно:
$(x + 3y) + (6x - 3y) = 8 + (-15)$
$7x = -7$
$x = -1$
Подставим значение $x$ в первое исходное уравнение:
$-1 + 3y = 8$
$3y = 9$
$y = 3$
Решение: $(-1, 3)$.
Ответ: $(-1, 3)$.

В данном случае способ подстановки кажется предпочтительнее, так как в первом уравнении переменная $x$ имеет коэффициент 1, что позволяет легко выразить её через $y$ без появления дробей.

б) $ \begin{cases} 3m - 4n = 20, \\ m + 2n = 0; \end{cases} $

Способ подстановки:
Из второго уравнения легко выразить $m$:
$m = -2n$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$3(-2n) - 4n = 20$
$-6n - 4n = 20$
$-10n = 20$
$n = -2$
Теперь найдем $m$:
$m = -2(-2) = 4$
Решение: $(4, -2)$.

Способ сложения:
Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $n$ стали противоположными:
$ \begin{cases} 3m - 4n = 20, \\ 2(m + 2n) = 2(0); \end{cases} \implies \begin{cases} 3m - 4n = 20, \\ 2m + 4n = 0; \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(3m - 4n) + (2m + 4n) = 20 + 0$
$5m = 20$
$m = 4$
Подставим значение $m$ во второе исходное уравнение:
$4 + 2n = 0$
$2n = -4$
$n = -2$
Решение: $(4, -2)$.
Ответ: $(4, -2)$.

Оба способа в этом случае очень удобны. Способ подстановки выглядит немного проще, так как из второго уравнения ($m+2n=0$) переменная $m$ выражается моментально ($m=-2n$).

в) $ \begin{cases} 2x + 5y = 6, \\ 3x + 7y = 4; \end{cases} $

Способ подстановки:
Выразим $x$ из первого уравнения:
$2x = 6 - 5y \implies x = \frac{6 - 5y}{2}$
Подставим во второе уравнение:
$3 \left(\frac{6 - 5y}{2}\right) + 7y = 4$
Умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:
$3(6 - 5y) + 14y = 8$
$18 - 15y + 14y = 8$
$18 - y = 8$
$y = 18 - 8 = 10$
Теперь найдем $x$:
$x = \frac{6 - 5(10)}{2} = \frac{6 - 50}{2} = \frac{-44}{2} = -22$
Решение: $(-22, 10)$.

Способ сложения:
Чтобы исключить $x$, умножим первое уравнение на 3, а второе на -2:
$ \begin{cases} 3(2x + 5y) = 3(6), \\ -2(3x + 7y) = -2(4); \end{cases} \implies \begin{cases} 6x + 15y = 18, \\ -6x - 14y = -8; \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(6x + 15y) + (-6x - 14y) = 18 + (-8)$
$y = 10$
Подставим значение $y$ в первое исходное уравнение:
$2x + 5(10) = 6$
$2x + 50 = 6$
$2x = -44$
$x = -22$
Решение: $(-22, 10)$.
Ответ: $(-22, 10)$.

В этом случае способ сложения является предпочтительным. Ни одна из переменных не имеет коэффициента 1, поэтому при использовании способа подстановки приходится работать с дробями, что усложняет вычисления и увеличивает вероятность ошибки. Способ сложения позволяет избежать дробей и провести все вычисления с целыми числами.

291 Решите систему уравнений, воспользовавшись любым способом по своему выбору:

а) $\begin{cases} \frac{x+z}{2} = 1, \\ x - z = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{y}{3} - \frac{z}{2} = \frac{1}{2}, \\ 2y + 3z = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y = -2, \\ 3x - y = -5; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{1}{5}m - \frac{1}{6}n = 0, \\ 5m - 4n = 2. \end{cases}$

Совет. Сначала избавьтесь от дробей в первом уравнении системы.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x + z}{2} = 1 \\ x - z = 3 \end{cases}$$

Для начала упростим первое уравнение, умножив обе его части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$2 \cdot \frac{x + z}{2} = 2 \cdot 1$

$x + z = 2$

Теперь система уравнений имеет вид:

$$ \begin{cases} x + z = 2 \\ x - z = 3 \end{cases}$$

Применим метод сложения: сложим левые и правые части обоих уравнений.

$(x + z) + (x - z) = 2 + 3$

$2x = 5$

$x = \frac{5}{2} = 2.5$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений, например, во второе ($x - z = 3$):

$2.5 - z = 3$

$-z = 3 - 2.5$

$-z = 0.5$

$z = -0.5$

Ответ: $x = 2.5, z = -0.5$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{y}{3} - \frac{z}{2} = \frac{1}{2} \\ 2y + 3z = 1 \end{cases}$$

Избавимся от дробей в первом уравнении. Для этого умножим обе его части на наименьший общий знаменатель, который равен 6:

$6 \cdot (\frac{y}{3} - \frac{z}{2}) = 6 \cdot \frac{1}{2}$

$2y - 3z = 3$

Получаем новую, эквивалентную систему:

$$ \begin{cases} 2y - 3z = 3 \\ 2y + 3z = 1 \end{cases}$$

Сложим два уравнения системы:

$(2y - 3z) + (2y + 3z) = 3 + 1$

$4y = 4$

$y = 1$

Подставим $y = 1$ во второе уравнение ($2y + 3z = 1$):

$2(1) + 3z = 1$

$2 + 3z = 1$

$3z = 1 - 2$

$3z = -1$

$z = -\frac{1}{3}$

Ответ: $y = 1, z = -\frac{1}{3}$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y = -2 \\ 3x - y = -5 \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на 12 (наименьший общий знаменатель для 3 и 4), чтобы избавиться от дробей:

$12 \cdot (\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y) = 12 \cdot (-2)$

$4x + 3y = -24$

Теперь система выглядит так:

$$ \begin{cases} 4x + 3y = -24 \\ 3x - y = -5 \end{cases}$$

Для удобства решения методом сложения умножим второе уравнение на 3:

$3 \cdot (3x - y) = 3 \cdot (-5)$

$9x - 3y = -15$

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы ($4x + 3y = -24$):

$(4x + 3y) + (9x - 3y) = -24 + (-15)$

$13x = -39$

$x = -3$

Подставим значение $x = -3$ во второе исходное уравнение ($3x - y = -5$):

$3(-3) - y = -5$

$-9 - y = -5$

$-y = -5 + 9$

$-y = 4$

$y = -4$

Ответ: $x = -3, y = -4$.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{5}m - \frac{1}{6}n = 0 \\ 5m - 4n = 2 \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на 30 (наименьший общий знаменатель для 5 и 6):

$30 \cdot (\frac{1}{5}m - \frac{1}{6}n) = 30 \cdot 0$

$6m - 5n = 0$

Система принимает вид:

$$ \begin{cases} 6m - 5n = 0 \\ 5m - 4n = 2 \end{cases}$$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения ($6m - 5n = 0$) выразим переменную $m$:

$6m = 5n$

$m = \frac{5}{6}n$

Подставим это выражение во второе уравнение системы ($5m - 4n = 2$):

$5(\frac{5}{6}n) - 4n = 2$

$\frac{25}{6}n - 4n = 2$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 6:

$25n - 24n = 12$

$n = 12$

Теперь найдем $m$, подставив значение $n=12$ в выражение $m = \frac{5}{6}n$:

$m = \frac{5}{6} \cdot 12$

$m = 10$

Ответ: $m = 10, n = 12$.

Решите систему уравнений:

a) $$\begin{cases} 3(x - y) - 2(x + y) = 2x - 2y \\ \frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{3} = 1 - \frac{y}{15} \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 5(x + y) - 4(x - y) = 8y - 3x \\ \frac{x - y}{2} - \frac{x + y}{6} = 3 \end{cases}$$

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3(x - y) - 2(x + y) = 2x - 2y, \\ \frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{3} = 1 - \frac{y}{15} \end{cases} $$ Сначала упростим каждое уравнение системы.

Первое уравнение:
$3(x - y) - 2(x + y) = 2x - 2y$
Раскроем скобки:
$3x - 3y - 2x - 2y = 2x - 2y$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x - 5y = 2x - 2y$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а с $y$ в другую:
$-5y + 2y = 2x - x$
$-3y = x$ или $x = -3y$.

Второе уравнение:
$\frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{3} = 1 - \frac{y}{15}$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (15), чтобы избавиться от дробей:
$15 \cdot \frac{x + y}{5} - 15 \cdot \frac{x - y}{3} = 15 \cdot 1 - 15 \cdot \frac{y}{15}$
$3(x + y) - 5(x - y) = 15 - y$
Раскроем скобки:
$3x + 3y - 5x + 5y = 15 - y$
Приведем подобные слагаемые:
$-2x + 8y = 15 - y$
$-2x + 8y + y = 15$
$-2x + 9y = 15$.

Теперь решим полученную систему уравнений: $$ \begin{cases} x = -3y \\ -2x + 9y = 15 \end{cases} $$ Используем метод подстановки. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$-2(-3y) + 9y = 15$
$6y + 9y = 15$
$15y = 15$
$y = 1$.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y=1$ в уравнение $x = -3y$:
$x = -3 \cdot 1 = -3$.

Ответ: $(-3; 1)$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 5(x + y) - 4(x - y) = 8y - 3x, \\ \frac{x - y}{2} - \frac{x + y}{6} = 3 \end{cases} $$ Сначала упростим каждое уравнение системы.

Первое уравнение:
$5(x + y) - 4(x - y) = 8y - 3x$
Раскроем скобки:
$5x + 5y - 4x + 4y = 8y - 3x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x + 9y = 8y - 3x$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а с $y$ в другую:
$x + 3x = 8y - 9y$
$4x = -y$ или $y = -4x$.

Второе уравнение:
$\frac{x - y}{2} - \frac{x + y}{6} = 3$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (6):
$6 \cdot \frac{x - y}{2} - 6 \cdot \frac{x + y}{6} = 6 \cdot 3$
$3(x - y) - (x + y) = 18$
Раскроем скобки:
$3x - 3y - x - y = 18$
Приведем подобные слагаемые:
$2x - 4y = 18$
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$x - 2y = 9$.

Теперь решим полученную систему уравнений: $$ \begin{cases} y = -4x \\ x - 2y = 9 \end{cases} $$ Используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x - 2(-4x) = 9$
$x + 8x = 9$
$9x = 9$
$x = 1$.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=1$ в уравнение $y = -4x$:
$y = -4 \cdot 1 = -4$.

Ответ: $(1; -4)$.

293 Решите систему уравнений способом подстановки:

a) $\begin{cases} x + y = 12, \\ xy = 35; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = -11, \\ xy = -12; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x - y = 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 101, \\ x + y = 11; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 64, \\ 3x + 5y = 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} x^2 - xy = 10, \\ 3x + y = 3. \end{cases}$

а)

В системе $ \begin{cases} x + y = 12 \\ xy = 35 \end{cases} $ из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$: $y = 12 - x$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы: $x(12 - x) = 35$.
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$12x - x^2 = 35$
$x^2 - 12x + 35 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 35. Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$:
1) Если $x_1 = 5$, то $y_1 = 12 - 5 = 7$.
2) Если $x_2 = 7$, то $y_2 = 12 - 7 = 5$.

Ответ: $(5; 7)$, $(7; 5)$.

б)

В системе $ \begin{cases} x + y = -11 \\ xy = -12 \end{cases} $ из первого уравнения выразим $y$: $y = -11 - x$.
Подставим полученное выражение во второе уравнение: $x(-11 - x) = -12$.
Раскроем скобки и преобразуем уравнение:
$-11x - x^2 = -12$
$x^2 + 11x - 12 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна -11, а их произведение -12. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -12$.
Найдем соответствующие значения $y$:
1) Если $x_1 = 1$, то $y_1 = -11 - 1 = -12$.
2) Если $x_2 = -12$, то $y_2 = -11 - (-12) = -11 + 12 = 1$.

Ответ: $(1; -12)$, $(-12; 1)$.

в)

В системе $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $ из второго уравнения выразим $x$: $x = 1 + y$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $(1 + y)^2 + y^2 = 5$.
Раскроем скобки и упростим:
$1 + 2y + y^2 + y^2 = 5$
$2y^2 + 2y - 4 = 0$.
Разделим все уравнение на 2: $y^2 + y - 2 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение -2. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
1) Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 1 = 2$.
2) Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 1 + (-2) = -1$.

Ответ: $(2; 1)$, $(-1; -2)$.

г)

В системе $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 101 \\ x + y = 11 \end{cases} $ из второго уравнения выразим $y$: $y = 11 - x$.
Подставим в первое уравнение: $x^2 + (11 - x)^2 = 101$.
Раскроем скобки и преобразуем:
$x^2 + 121 - 22x + x^2 = 101$
$2x^2 - 22x + 20 = 0$.
Разделим уравнение на 2: $x^2 - 11x + 10 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение 10. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 10$.
Найдем соответствующие значения $y$:
1) Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 11 - 1 = 10$.
2) Если $x_2 = 10$, то $y_2 = 11 - 10 = 1$.

Ответ: $(1; 10)$, $(10; 1)$.

д)

В системе $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 64 \\ 3x + 5y = 0 \end{cases} $ из второго уравнения выразим $x$: $3x = -5y \Rightarrow x = -\frac{5y}{3}$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $\left(-\frac{5y}{3}\right)^2 - y^2 = 64$.
Возведем в квадрат: $\frac{25y^2}{9} - y^2 = 64$.
Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от дроби: $25y^2 - 9y^2 = 64 \cdot 9$.
$16y^2 = 576$.
$y^2 = \frac{576}{16} = 36$.
Отсюда $y_1 = 6$ и $y_2 = -6$.
Найдем соответствующие значения $x$:
1) Если $y_1 = 6$, то $x_1 = -\frac{5 \cdot 6}{3} = -10$.
2) Если $y_2 = -6$, то $x_2 = -\frac{5 \cdot (-6)}{3} = 10$.

Ответ: $(-10; 6)$, $(10; -6)$.

е)

В системе $ \begin{cases} x^2 - xy = 10 \\ 3x + y = 3 \end{cases} $ из второго уравнения выразим $y$: $y = 3 - 3x$.
Подставим в первое уравнение: $x^2 - x(3 - 3x) = 10$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 3x + 3x^2 = 10$
$4x^2 - 3x - 10 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-10) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.
Найдем корни для $x$:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 13}{8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$.
Найдем соответствующие значения $y$:
1) Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 3 - 3 \cdot 2 = 3 - 6 = -3$.
2) Если $x_2 = -\frac{5}{4}$, то $y_2 = 3 - 3\left(-\frac{5}{4}\right) = 3 + \frac{15}{4} = \frac{12}{4} + \frac{15}{4} = \frac{27}{4}$.

Ответ: $(2; -3)$, $\left(-\frac{5}{4}; \frac{27}{4}\right)$.

294 Решите систему уравнений (выберите удобный способ):

а) $\begin{cases} x^2 + y = 0, \\ 3x - y = 10; \end{cases}$

б) $\begin{cases} u + v^2 = -3, \\ u - 5v = -3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3x - z = 3, \\ 2x^2 - z = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3z + y = 6, \\ 2z^2 - 3y = -7; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 3x^2 + 2x = 3y, \\ 2x + 5 = y; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 2y = x^2 - 4x, \\ 4y = 3x - 9. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y = 0 \\ 3x - y = 10 \end{cases}$

Наиболее удобный способ решения - метод сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами. Сложим левые и правые части уравнений системы:

$(x^2 + y) + (3x - y) = 0 + 10$

$x^2 + 3x = 10$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-10$, а их сумма равна $-3$. Подбором находим корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$. Для этого подставим значения $x$ в любое из уравнений исходной системы. Удобнее использовать первое уравнение $x^2 + y = 0$, из которого $y = -x^2$.

1. При $x_1 = -5$:

$y_1 = -(-5)^2 = -25$

Первая пара решений: $(-5, -25)$.

2. При $x_2 = 2$:

$y_2 = -(2)^2 = -4$

Вторая пара решений: $(2, -4)$.

Ответ: $(-5, -25), (2, -4)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} u + v^2 = -3 \\ u - 5v = -3 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $u$:

$u = 5v - 3$

Подставим полученное выражение для $u$ в первое уравнение системы:

$(5v - 3) + v^2 = -3$

Упростим уравнение, перенеся все члены в левую часть:

$v^2 + 5v - 3 + 3 = 0$

$v^2 + 5v = 0$

Вынесем общий множитель $v$ за скобки:

$v(v + 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $v$:

$v_1 = 0$ или $v_2 = -5$.

Теперь найдем соответствующие значения $u$ для каждого $v$, используя выражение $u = 5v - 3$.

1. При $v_1 = 0$:

$u_1 = 5(0) - 3 = -3$

Первая пара решений: $(-3, 0)$.

2. При $v_2 = -5$:

$u_2 = 5(-5) - 3 = -25 - 3 = -28$

Вторая пара решений: $(-28, -5)$.

Ответ: $(-3, 0), (-28, -5)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x - z = 3 \\ 2x^2 - z = 3 \end{cases}$

Поскольку правые части обоих уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$3x - z = 2x^2 - z$

Прибавим $z$ к обеим частям уравнения:

$3x = 2x^2$

Перенесем все члены в одну сторону и решим полученное неполное квадратное уравнение:

$2x^2 - 3x = 0$

$x(2x - 3) = 0$

Получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$ или $2x - 3 = 0 \implies x_2 = \frac{3}{2}$.

Теперь найдем соответствующие значения $z$. Выразим $z$ из первого уравнения: $z = 3x - 3$.

1. При $x_1 = 0$:

$z_1 = 3(0) - 3 = -3$

Первая пара решений: $(0, -3)$.

2. При $x_2 = \frac{3}{2}$:

$z_2 = 3\left(\frac{3}{2}\right) - 3 = \frac{9}{2} - \frac{6}{2} = \frac{3}{2}$

Вторая пара решений: $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$.

Ответ: $(0, -3), (\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3z + y = 6 \\ 2z^2 - 3y = -7 \end{cases}$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 6 - 3z$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$2z^2 - 3(6 - 3z) = -7$

Раскроем скобки и упростим:

$2z^2 - 18 + 9z = -7$

$2z^2 + 9z - 18 + 7 = 0$

$2z^2 + 9z - 11 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4(2)(-11) = 81 + 88 = 169 = 13^2$

Найдем корни для $z$:

$z = \frac{-9 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 \pm 13}{4}$

$z_1 = \frac{-9 + 13}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$z_2 = \frac{-9 - 13}{4} = \frac{-22}{4} = -\frac{11}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 6 - 3z$.

1. При $z_1 = 1$:

$y_1 = 6 - 3(1) = 3$

Первая пара решений (в формате (z, y)): $(1, 3)$.

2. При $z_2 = -\frac{11}{2}$:

$y_2 = 6 - 3\left(-\frac{11}{2}\right) = 6 + \frac{33}{2} = \frac{12}{2} + \frac{33}{2} = \frac{45}{2}$

Вторая пара решений: $(-\frac{11}{2}, \frac{45}{2})$.

Ответ: $(1, 3), (-\frac{11}{2}, \frac{45}{2})$.

д)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x^2 + 2x = 3y \\ 2x + 5 = y \end{cases}$

Применим метод подстановки. Второе уравнение уже выражает $y$ через $x$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x^2 + 2x = 3(2x + 5)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 2x = 6x + 15$

$3x^2 + 2x - 6x - 15 = 0$

$3x^2 - 4x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4(3)(-15) = 16 + 180 = 196 = 14^2$

Найдем корни для $x$:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 14}{6}$

$x_1 = \frac{4 + 14}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{4 - 14}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 2x + 5$.

1. При $x_1 = 3$:

$y_1 = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11$

Первая пара решений: $(3, 11)$.

2. При $x_2 = -\frac{5}{3}$:

$y_2 = 2\left(-\frac{5}{3}\right) + 5 = -\frac{10}{3} + \frac{15}{3} = \frac{5}{3}$

Вторая пара решений: $(-\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$.

Ответ: $(3, 11), (-\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$.

е)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2y = x^2 - 4x \\ 4y = 3x - 9 \end{cases}$

Применим метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:

$y = \frac{3x - 9}{4}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2 \left( \frac{3x - 9}{4} \right) = x^2 - 4x$

Сократим дробь в левой части:

$\frac{3x - 9}{2} = x^2 - 4x$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$3x - 9 = 2(x^2 - 4x)$

$3x - 9 = 2x^2 - 8x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0 = 2x^2 - 8x - 3x + 9$

$2x^2 - 11x + 9 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4(2)(9) = 121 - 72 = 49 = 7^2$

Найдем корни для $x$:

$x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{11 \pm 7}{4}$

$x_1 = \frac{11 + 7}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$

$x_2 = \frac{11 - 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = \frac{3x - 9}{4}$.

1. При $x_1 = \frac{9}{2}$:

$y_1 = \frac{3(\frac{9}{2}) - 9}{4} = \frac{\frac{27}{2} - \frac{18}{2}}{4} = \frac{\frac{9}{2}}{4} = \frac{9}{8}$

Первая пара решений: $(\frac{9}{2}, \frac{9}{8})$.

2. При $x_2 = 1$:

$y_2 = \frac{3(1) - 9}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Вторая пара решений: $(1, -\frac{3}{2})$.

Ответ: $(\frac{9}{2}, \frac{9}{8}), (1, -\frac{3}{2})$.

295 1) Разберите способ решения системы уравнений $\begin{cases} x^2 - y^2 = 8, \\ x - y = -2. \end{cases}$

Разложим в первом уравнении разность $x^2 - y^2$ на множители, затем подставим вместо $x - y$ число $-2$. Получим систему, которую легко решить устно:

$\begin{cases} (x - y)(x + y) = 8, \\ x - y = -2; \end{cases}$ $\begin{cases} -2(x + y) = 8, \\ x - y = -2; \end{cases}$ $\begin{cases} x + y = -4, \\ x - y = -2. \end{cases}$

Ответ: $x = -3$, $y = -1$.

2) Решите систему уравнений: а) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 21, \\ x + y = 3; \end{cases}$ б) $\begin{cases} x^2 - xy = 4, \\ x - y = 1. \end{cases}$

Данная задача предлагает разобрать способ решения системы уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 8, \\ x - y = -2. \end{cases} $$ Метод решения заключается в упрощении первого уравнения с помощью формулы разности квадратов и последующей подстановке значения из второго уравнения. Разберем этот процесс подробно.

Шаг 1: Факторизация первого уравнения.
Первое уравнение системы $x^2 - y^2 = 8$ содержит разность квадратов. Применим известную алгебраическую формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В результате уравнение $x^2 - y^2 = 8$ преобразуется в $(x - y)(x + y) = 8$.

Шаг 2: Подстановка.
Теперь наша система выглядит следующим образом: $$ \begin{cases} (x - y)(x + y) = 8, \\ x - y = -2. \end{cases} $$ Из второго уравнения нам известно, что выражение $(x - y)$ равно $-2$. Мы можем подставить это значение в первое уравнение вместо $(x - y)$.
Получаем: $-2 \cdot (x + y) = 8$.

Шаг 3: Упрощение и формирование новой системы.
Разделим обе части уравнения $-2(x + y) = 8$ на $-2$, чтобы найти значение $(x + y)$: $x + y = \frac{8}{-2}$, что дает $x + y = -4$.
Таким образом, исходная система сводится к более простой системе линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + y = -4, \\ x - y = -2. \end{cases} $$

Шаг 4: Решение линейной системы.
Эту систему удобно решать методом сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений: $(x + y) + (x - y) = -4 + (-2)$
$2x = -6$
$x = -3$.

Шаг 5: Нахождение второй переменной.
Подставим найденное значение $x = -3$ в любое из уравнений простой системы, например, в $x + y = -4$:
$-3 + y = -4$
$y = -4 + 3$
$y = -1$.
Проверка по второму уравнению $x - y = -2$: $-3 - (-1) = -3 + 1 = -2$. Решение верно.

Ответ: $x = -3, y = -1$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 21, \\ x + y = 3. \end{cases} $$

1. В первом уравнении применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Система уравнений примет вид: $$ \begin{cases} (x - y)(x + y) = 21, \\ x + y = 3. \end{cases} $$

2. Подставим значение $(x + y)$ из второго уравнения в первое: $(x - y) \cdot 3 = 21$.

3. Найдем $(x - y)$, разделив обе части уравнения на 3: $x - y = \frac{21}{3}$
$x - y = 7$.

4. Теперь мы имеем простую систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = 7. \end{cases} $$

5. Сложим два уравнения системы, чтобы найти $x$:
$(x + y) + (x - y) = 3 + 7$
$2x = 10$
$x = 5$.

6. Подставим $x = 5$ в уравнение $x + y = 3$, чтобы найти $y$:
$5 + y = 3$
$y = 3 - 5$
$y = -2$.

Ответ: $x = 5, y = -2$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - xy = 4, \\ x - y = 1. \end{cases} $$

1. В первом уравнении $x^2 - xy = 4$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - y) = 4$.

2. Система примет вид: $$ \begin{cases} x(x - y) = 4, \\ x - y = 1. \end{cases} $$

3. Из второго уравнения известно, что $(x - y) = 1$. Подставим это значение в первое уравнение: $x \cdot 1 = 4$
$x = 4$.

4. Теперь подставим найденное значение $x = 4$ во второе уравнение $x - y = 1$, чтобы найти $y$:
$4 - y = 1$
$4 - 1 = y$
$y = 3$.

Ответ: $x = 4, y = 3$.

296 С помощью схематических рисунков определите, графики какой пары функций пересекаются:

1) $y = -\frac{6}{x}$ и $y = 2x$

или

2) $y = \frac{6}{x}$ и $y = 2x - 4$.

Вычислите координаты точек пересечения.

1) $y = -\frac{6}{x}$ и $y = 2x$

Сначала проанализируем расположение графиков функций схематически.

График функции $y = -\frac{6}{x}$ представляет собой гиперболу. Поскольку коэффициент перед $x$ отрицательный ($k = -6$), ветви этой гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

График функции $y = 2x$ — это прямая линия, которая проходит через начало координат (0, 0) и имеет положительный угловой коэффициент ($k=2$). Эта прямая расположена в первой и третьей координатных четвертях.

Схематически видно, что ветви гиперболы и прямая находятся в разных четвертях и не имеют общих точек.

Чтобы найти точные координаты точек пересечения, нужно решить систему уравнений. Для этого приравняем выражения для $y$:

$-\frac{6}{x} = 2x$

Домножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$-6 = 2x^2$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = -3$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Это подтверждает, что графики данных функций не пересекаются.

Ответ: графики не пересекаются.

2) $y = \frac{6}{x}$ и $y = 2x - 4$

Проанализируем расположение графиков функций схематически.

График функции $y = \frac{6}{x}$ — это гипербола. Поскольку коэффициент $k = 6$ положительный, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.

График функции $y = 2x - 4$ — это прямая линия. Она пересекает ось ординат (OY) в точке $(0, -4)$ и ось абсцисс (OX) в точке $(2, 0)$. Прямая проходит через первую, третью и четвертую координатные четверти.

Так как и прямая, и гипербола находятся в первой и третьей четвертях, можно предположить, что их графики пересекаются.

Теперь вычислим точные координаты точек пересечения, решив систему уравнений. Приравняем выражения для $y$:

$\frac{6}{x} = 2x - 4$

Домножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$6 = 2x^2 - 4x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -3. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и -1.

$x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, подставив их в одно из исходных уравнений (например, в $y = \frac{6}{x}$):

Для $x_1 = 3$: $y_1 = \frac{6}{3} = 2$. Первая точка пересечения — $(3, 2)$.

Для $x_2 = -1$: $y_2 = \frac{6}{-1} = -6$. Вторая точка пересечения — $(-1, -6)$.

Следовательно, графики данной пары функций пересекаются.

Ответ: графики пересекаются в точках $(3, 2)$ и $(-1, -6)$.