Номер 293, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 293, страница 109.

293 Решите систему уравнений способом подстановки:

a) $\begin{cases} x + y = 12, \\ xy = 35; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = -11, \\ xy = -12; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x - y = 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 101, \\ x + y = 11; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 64, \\ 3x + 5y = 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} x^2 - xy = 10, \\ 3x + y = 3. \end{cases}$

а)

В системе $ \begin{cases} x + y = 12 \\ xy = 35 \end{cases} $ из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$: $y = 12 - x$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы: $x(12 - x) = 35$.
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$12x - x^2 = 35$
$x^2 - 12x + 35 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 35. Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$:
1) Если $x_1 = 5$, то $y_1 = 12 - 5 = 7$.
2) Если $x_2 = 7$, то $y_2 = 12 - 7 = 5$.

Ответ: $(5; 7)$, $(7; 5)$.

б)

В системе $ \begin{cases} x + y = -11 \\ xy = -12 \end{cases} $ из первого уравнения выразим $y$: $y = -11 - x$.
Подставим полученное выражение во второе уравнение: $x(-11 - x) = -12$.
Раскроем скобки и преобразуем уравнение:
$-11x - x^2 = -12$
$x^2 + 11x - 12 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна -11, а их произведение -12. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -12$.
Найдем соответствующие значения $y$:
1) Если $x_1 = 1$, то $y_1 = -11 - 1 = -12$.
2) Если $x_2 = -12$, то $y_2 = -11 - (-12) = -11 + 12 = 1$.

Ответ: $(1; -12)$, $(-12; 1)$.

в)

В системе $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $ из второго уравнения выразим $x$: $x = 1 + y$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $(1 + y)^2 + y^2 = 5$.
Раскроем скобки и упростим:
$1 + 2y + y^2 + y^2 = 5$
$2y^2 + 2y - 4 = 0$.
Разделим все уравнение на 2: $y^2 + y - 2 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение -2. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
1) Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 1 = 2$.
2) Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 1 + (-2) = -1$.

Ответ: $(2; 1)$, $(-1; -2)$.

г)

В системе $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 101 \\ x + y = 11 \end{cases} $ из второго уравнения выразим $y$: $y = 11 - x$.
Подставим в первое уравнение: $x^2 + (11 - x)^2 = 101$.
Раскроем скобки и преобразуем:
$x^2 + 121 - 22x + x^2 = 101$
$2x^2 - 22x + 20 = 0$.
Разделим уравнение на 2: $x^2 - 11x + 10 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение 10. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 10$.
Найдем соответствующие значения $y$:
1) Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 11 - 1 = 10$.
2) Если $x_2 = 10$, то $y_2 = 11 - 10 = 1$.

Ответ: $(1; 10)$, $(10; 1)$.

д)

В системе $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 64 \\ 3x + 5y = 0 \end{cases} $ из второго уравнения выразим $x$: $3x = -5y \Rightarrow x = -\frac{5y}{3}$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $\left(-\frac{5y}{3}\right)^2 - y^2 = 64$.
Возведем в квадрат: $\frac{25y^2}{9} - y^2 = 64$.
Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от дроби: $25y^2 - 9y^2 = 64 \cdot 9$.
$16y^2 = 576$.
$y^2 = \frac{576}{16} = 36$.
Отсюда $y_1 = 6$ и $y_2 = -6$.
Найдем соответствующие значения $x$:
1) Если $y_1 = 6$, то $x_1 = -\frac{5 \cdot 6}{3} = -10$.
2) Если $y_2 = -6$, то $x_2 = -\frac{5 \cdot (-6)}{3} = 10$.

Ответ: $(-10; 6)$, $(10; -6)$.

е)

В системе $ \begin{cases} x^2 - xy = 10 \\ 3x + y = 3 \end{cases} $ из второго уравнения выразим $y$: $y = 3 - 3x$.
Подставим в первое уравнение: $x^2 - x(3 - 3x) = 10$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 3x + 3x^2 = 10$
$4x^2 - 3x - 10 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-10) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.
Найдем корни для $x$:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 13}{8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$.
Найдем соответствующие значения $y$:
1) Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 3 - 3 \cdot 2 = 3 - 6 = -3$.
2) Если $x_2 = -\frac{5}{4}$, то $y_2 = 3 - 3\left(-\frac{5}{4}\right) = 3 + \frac{15}{4} = \frac{12}{4} + \frac{15}{4} = \frac{27}{4}$.

Ответ: $(2; -3)$, $\left(-\frac{5}{4}; \frac{27}{4}\right)$.