Номер 319, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.8 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 319, страница 113.

319 Площадь прямоугольного треугольника равна $30 \, \text{см}^2$, а его гипотенуза равна $13 \, \text{см}$. Найдите катеты треугольника.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.

По условию задачи нам даны:
Площадь треугольника $S = 30$ см$^2$.
Гипотенуза $c = 13$ см.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле, связывающей его катеты:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$
Подставим известное значение площади и выразим произведение катетов:
$30 = \frac{1}{2}ab$
$ab = 60$

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника справедливо следующее соотношение:
$a^2 + b^2 = c^2$
Подставим известное значение гипотенузы:
$a^2 + b^2 = 13^2$
$a^2 + b^2 = 169$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
$\begin{cases} ab = 60 \\ a^2 + b^2 = 169 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
Подставим в эту формулу значения из наших уравнений:
$(a+b)^2 = 169 + 2 \cdot 60 = 169 + 120 = 289$.

Отсюда найдем сумму катетов $a+b$. Так как длины сторон треугольника являются положительными числами, их сумма также положительна, поэтому мы берем только арифметический корень:
$a+b = \sqrt{289} = 17$.

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:
$\begin{cases} a+b = 17 \\ ab = 60 \end{cases}$

По теореме, обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.
Подставим наши значения суммы и произведения:
$t^2 - 17t + 60 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49$.
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-(-17) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
$t_2 = \frac{-(-17) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Корни уравнения $t_1 = 5$ и $t_2 = 12$ являются длинами искомых катетов.

Ответ: Катеты треугольника равны 5 см и 12 см.