Номер 309, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 309, страница 111.

309 Парабола $y = ax^2 + bx + c$ проходит через точки $A (0; 3)$, $B (-1; 0)$ и $C (1; 4)$.

1) Определите, проходит ли эта парабола через точку $M (4; -5)$; через точку $N (-4; -5)$.

2) Найдите координаты её вершины.

1) Определите, проходит ли эта парабола через точку M (4; –5); через точку N (–4; –5).

Чтобы найти уравнение параболы $y = ax^2 + bx + c$, воспользуемся тем, что она проходит через три заданные точки: A (0; 3), B (–1; 0) и C (1; 4). Подставим координаты этих точек в уравнение параболы, чтобы составить систему уравнений для нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$.

Для точки A (0; 3):
$3 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \implies c = 3$.

Для точки B (–1; 0):
$0 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c \implies a - b + c = 0$.

Для точки C (1; 4):
$4 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c \implies a + b + c = 4$.

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} c = 3 \\ a - b + c = 0 \\ a + b + c = 4 \end{cases}$

Подставим значение $c = 3$ во второе и третье уравнения:
$\begin{cases} a - b + 3 = 0 \\ a + b + 3 = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a - b = -3 \\ a + b = 1 \end{cases}$

Теперь решим систему двух уравнений. Сложим их:
$(a - b) + (a + b) = -3 + 1$
$2a = -2$
$a = -1$

Подставим найденное значение $a = -1$ в уравнение $a + b = 1$:
$-1 + b = 1 \implies b = 2$.

Итак, уравнение параболы имеет вид: $y = -x^2 + 2x + 3$.

Теперь проверим, проходят ли точки M (4; –5) и N (–4; –5) через эту параболу.

Для точки M (4; –5): подставим $x = 4$ в уравнение.
$y = -(4)^2 + 2(4) + 3 = -16 + 8 + 3 = -5$.
Полученное значение $y = -5$ совпадает с ординатой точки M, значит, парабола проходит через точку M.

Для точки N (–4; –5): подставим $x = -4$ в уравнение.
$y = -(-4)^2 + 2(-4) + 3 = -16 - 8 + 3 = -21$.
Полученное значение $y = -21$ не равно ординате точки N (–5), значит, парабола не проходит через точку N.

Ответ: парабола проходит через точку M (4; –5) и не проходит через точку N (–4; –5).

2) Найдите координаты её вершины.

Уравнение нашей параболы $y = -x^2 + 2x + 3$. Координаты вершины параболы $(x_в; y_в)$ можно найти по формулам.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$.
Для нашего уравнения $a = -1$ и $b = 2$.
$x_в = -\frac{2}{2(-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$.

Ординату вершины $y_в$ найдем, подставив значение $x_в = 1$ в уравнение параболы:
$y_в = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

Таким образом, координаты вершины параболы — (1; 4).

Ответ: (1; 4).