Номер 307, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 307, страница 111.

307 Парабола $y = ax^2 + bx + c$ проходит через точки $M (0; 1)$, $N (1; 0)$ и $K (3; 10)$. Задайте эту параболу уравнением и постройте её.

Задание уравнения параболы

Общее уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 + bx + c$. Поскольку парабола проходит через точки $M(0; 1)$, $N(1; 0)$ и $K(3; 10)$, их координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим координаты каждой точки в уравнение, чтобы получить систему для нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$.

1. Для точки $M(0; 1)$: подставляем $x=0$, $y=1$.
$1 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \implies c = 1$.

2. Для точки $N(1; 0)$: подставляем $x=1$, $y=0$.
$0 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c \implies a + b + c = 0$.

3. Для точки $K(3; 10)$: подставляем $x=3$, $y=10$.
$10 = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c \implies 9a + 3b + c = 10$.

Мы получили систему из трех уравнений: $$ \begin{cases} c = 1 \\ a + b + c = 0 \\ 9a + 3b + c = 10 \end{cases} $$

Сразу известно, что $c=1$. Подставим это значение во второе и третье уравнения: $$ \begin{cases} a + b + 1 = 0 \\ 9a + 3b + 1 = 10 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a + b = -1 \\ 9a + 3b = 9 \end{cases} $$

Разделим второе уравнение на 3: $$ \begin{cases} a + b = -1 \\ 3a + b = 3 \end{cases} $$

Теперь вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $a$:
$(3a + b) - (a + b) = 3 - (-1)$
$2a = 4$
$a = 2$.

Подставим найденное значение $a=2$ в уравнение $a + b = -1$, чтобы найти $b$:
$2 + b = -1$
$b = -3$.

Таким образом, коэффициенты параболы: $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$.

Ответ: Уравнение параболы: $y = 2x^2 - 3x + 1$.

Построение параболы

Для построения графика параболы $y = 2x^2 - 3x + 1$ найдем ее ключевые характеристики.

1. Направление ветвей. Так как коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находим по формулам:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0.75$.
$y_v = 2(\frac{3}{4})^2 - 3(\frac{3}{4}) + 1 = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{8}{8} = -\frac{1}{8} = -0.125$.
Вершина находится в точке $(\frac{3}{4}; -\frac{1}{8})$. Ось симметрии параболы — прямая $x = \frac{3}{4}$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY (при $x=0$):
$y = 2(0)^2 - 3(0) + 1 = 1$. Точка пересечения — $(0; 1)$, что совпадает с точкой $M$.
С осью OX (при $y=0$):
Решаем уравнение $2x^2 - 3x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Корни: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Точки пересечения — $(\frac{1}{2}; 0)$ и $(1; 0)$ (точка $N$).

4. Построение. На координатной плоскости отметим найденные точки: вершину $(\frac{3}{4}; -\frac{1}{8})$, точки пересечения с осями $(0; 1)$, $(\frac{1}{2}; 0)$, $(1; 0)$, а также заданную точку $K(3; 10)$. Соединяем эти точки плавной кривой, симметричной относительно прямой $x = \frac{3}{4}$.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 3x + 1$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, вершиной в точке $(\frac{3}{4}; -\frac{1}{8})$, пересекающая ось ординат в точке $(0; 1)$, а ось абсцисс в точках $(\frac{1}{2}; 0)$ и $(1; 0)$.