Номер 303, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.7 Алгебраическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 303, страница 110.

303 Решите систему уравнений, используя замену $x + y = a, x - y = b: $

a) $ \begin{cases} x + y = 4(x - y), \\ x^2 - y^2 = 16; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2x - 2y = x + y, \\ x^2 - y^2 = 8; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 3(x - y) = x + y, \\ \frac{x^2 - y^2}{3} = 1; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 10, \\ 2(x + y) = 5(x - y). \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 4(x - y) \\ x^2 - y^2 = 16 \end{cases} $$

Введем замену переменных согласно условию: пусть $a = x + y$ и $b = x - y$.

Тогда первое уравнение системы примет вид $a = 4b$.

Второе уравнение преобразуем, используя формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. После подстановки новых переменных оно примет вид $b \cdot a = 16$.

Получим новую систему уравнений относительно $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a = 4b \\ ab = 16 \end{cases} $$

Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$(4b) \cdot b = 16$

$4b^2 = 16$

$b^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для $b$: $b_1 = 2$ и $b_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $a$:

1) Если $b_1 = 2$, то $a_1 = 4 \cdot 2 = 8$.

2) Если $b_2 = -2$, то $a_2 = 4 \cdot (-2) = -8$.

Теперь выполним обратную замену для каждой найденной пары $(a, b)$, чтобы найти $x$ и $y$.

Случай 1: $a = 8, b = 2$.

$$ \begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = 2 \end{cases} $$

Сложим два уравнения: $(x+y) + (x-y) = 8+2 \implies 2x = 10 \implies x = 5$.

Подставим $x=5$ в первое уравнение: $5 + y = 8 \implies y = 3$.

Первое решение: $(5; 3)$.

Случай 2: $a = -8, b = -2$.

$$ \begin{cases} x + y = -8 \\ x - y = -2 \end{cases} $$

Сложим два уравнения: $(x+y) + (x-y) = -8+(-2) \implies 2x = -10 \implies x = -5$.

Подставим $x=-5$ в первое уравнение: $-5 + y = -8 \implies y = -3$.

Второе решение: $(-5; -3)$.

Ответ: $(5; 3)$, $(-5; -3)$.

---

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 2y = x + y \\ x^2 - y^2 = 8 \end{cases} $$

Сначала преобразуем первое уравнение: $2(x - y) = x + y$.

Введем замену: $a = x + y$ и $b = x - y$.

Первое уравнение примет вид $2b = a$.

Второе уравнение $x^2 - y^2 = 8$ преобразуем в $(x-y)(x+y) = 8$, что после замены дает $ba = 8$.

Получим систему для $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a = 2b \\ ab = 8 \end{cases} $$

Подставим $a = 2b$ во второе уравнение:

$(2b) \cdot b = 8$

$2b^2 = 8$

$b^2 = 4$

Возможные значения для $b$: $b_1 = 2$ и $b_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $a$:

1) Если $b_1 = 2$, то $a_1 = 2 \cdot 2 = 4$.

2) Если $b_2 = -2$, то $a_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $a = 4, b = 2$.

$$ \begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases} $$

Сложим уравнения: $2x = 6 \implies x = 3$.

Подставим $x=3$ в первое уравнение: $3 + y = 4 \implies y = 1$.

Первое решение: $(3; 1)$.

Случай 2: $a = -4, b = -2$.

$$ \begin{cases} x + y = -4 \\ x - y = -2 \end{cases} $$

Сложим уравнения: $2x = -6 \implies x = -3$.

Подставим $x=-3$ в первое уравнение: $-3 + y = -4 \implies y = -1$.

Второе решение: $(-3; -1)$.

Ответ: $(3; 1)$, $(-3; -1)$.

---

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3(x - y) = x + y \\ \frac{x^2 - y^2}{3} = 1 \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение, умножив обе части на 3: $x^2 - y^2 = 3$.

Введем замену: $a = x + y$ и $b = x - y$.

Первое уравнение $3(x - y) = x + y$ примет вид $3b = a$.

Второе уравнение $x^2 - y^2 = 3$ преобразуем в $(x-y)(x+y) = 3$, что после замены дает $ba = 3$.

Получим систему для $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a = 3b \\ ab = 3 \end{cases} $$

Подставим $a = 3b$ во второе уравнение:

$(3b) \cdot b = 3$

$3b^2 = 3$

$b^2 = 1$

Возможные значения для $b$: $b_1 = 1$ и $b_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $a$:

1) Если $b_1 = 1$, то $a_1 = 3 \cdot 1 = 3$.

2) Если $b_2 = -1$, то $a_2 = 3 \cdot (-1) = -3$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $a = 3, b = 1$.

$$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases} $$

Сложим уравнения: $2x = 4 \implies x = 2$.

Подставим $x=2$ в первое уравнение: $2 + y = 3 \implies y = 1$.

Первое решение: $(2; 1)$.

Случай 2: $a = -3, b = -1$.

$$ \begin{cases} x + y = -3 \\ x - y = -1 \end{cases} $$

Сложим уравнения: $2x = -4 \implies x = -2$.

Подставим $x=-2$ в первое уравнение: $-2 + y = -3 \implies y = -1$.

Второе решение: $(-2; -1)$.

Ответ: $(2; 1)$, $(-2; -1)$.

---

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 10 \\ 2(x + y) = 5(x - y) \end{cases} $$

Введем замену: $a = x + y$ и $b = x - y$.

Первое уравнение $x^2 - y^2 = 10$ преобразуем в $(x-y)(x+y) = 10$, что после замены дает $ba = 10$.

Второе уравнение $2(x + y) = 5(x - y)$ примет вид $2a = 5b$.

Получим систему для $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} ab = 10 \\ 2a = 5b \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $a$: $a = \frac{5}{2}b$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(\frac{5}{2}b) \cdot b = 10$

$\frac{5}{2}b^2 = 10$

$b^2 = 10 \cdot \frac{2}{5} = 4$

Возможные значения для $b$: $b_1 = 2$ и $b_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $a$:

1) Если $b_1 = 2$, то $a_1 = \frac{5}{2} \cdot 2 = 5$.

2) Если $b_2 = -2$, то $a_2 = \frac{5}{2} \cdot (-2) = -5$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $a = 5, b = 2$.

$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 2 \end{cases} $$

Сложим уравнения: $2x = 7 \implies x = 3.5$.

Подставим $x=3.5$ в первое уравнение: $3.5 + y = 5 \implies y = 1.5$.

Первое решение: $(3.5; 1.5)$.

Случай 2: $a = -5, b = -2$.

$$ \begin{cases} x + y = -5 \\ x - y = -2 \end{cases} $$

Сложим уравнения: $2x = -7 \implies x = -3.5$.

Подставим $x=-3.5$ в первое уравнение: $-3.5 + y = -5 \implies y = -1.5$.

Второе решение: $(-3.5; -1.5)$.

Ответ: $(3.5; 1.5)$, $(-3.5; -1.5)$.