Номер 285, страница 105 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.6 Графическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 285, страница 105.

285 Решите систему уравнений графически, пользуясь рисунком 3.12. Проверьте свой ответ, выполнив подстановку:

a) $ \begin{cases} x^2 - y = 8, \\ y + x = -2; \end{cases} $

$ x^2 - y = 8 $

$ y + x = -2 $

б) $ \begin{cases} xy = 12, \\ y + 6 = 2; \end{cases} $

$ xy = 12 $

$ y + 6 = 2 $

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 20, \\ x + y = 6. \end{cases} $

$ x + y = 6 $

$ x^2 + y^2 = 20 $

Puc. 3.12

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - y = 8 \\ y + x = -2 \end{cases} $$

Первое уравнение системы, которое можно представить в виде $y = x^2 - 8$, является графиком параболы с ветвями, направленными вверх. Второе уравнение, $y = -x - 2$, является графиком прямой. Решением системы являются координаты точек пересечения этих графиков.

По рисунку 3.12 а) видно, что графики пересекаются в двух точках. Определим их координаты:

Первая точка пересечения: $x = -3, y = 1$.

Вторая точка пересечения: $x = 2, y = -4$.

Проверим найденные решения, подставив их в оба уравнения системы.

Для точки $(-3, 1)$:

$$ \begin{cases} (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8 \\ 1 + (-3) = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 8 = 8 \\ -2 = -2 \end{cases} $$

Оба равенства верны, значит, точка $(-3, 1)$ является решением.

Для точки $(2, -4)$:

$$ \begin{cases} (2)^2 - (-4) = 4 + 4 = 8 \\ -4 + 2 = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 8 = 8 \\ -2 = -2 \end{cases} $$

Оба равенства верны, значит, точка $(2, -4)$ также является решением.

Ответ: $(-3, 1), (2, -4)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} xy = 12 \\ y + 6 = 2 \end{cases} $$

Первое уравнение, $y = \frac{12}{x}$, задает гиперболу. Второе уравнение можно упростить до $y = 2 - 6$, то есть $y = -4$. Это уравнение задает горизонтальную прямую.

По рисунку 3.12 б) видно, что графики пересекаются в одной точке. Определим ее координаты: $x = -3, y = -4$.

Проверим найденное решение подстановкой.

Для точки $(-3, -4)$:

$$ \begin{cases} (-3) \cdot (-4) = 12 \\ -4 + 6 = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 12 = 12 \\ 2 = 2 \end{cases} $$

Оба равенства верны, следовательно, точка $(-3, -4)$ является решением системы.

Ответ: $(-3, -4)$.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ x + y = 6 \end{cases} $$

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 20$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{20}$. Второе уравнение, $y = -x + 6$, задает прямую.

По рисунку 3.12 в) видно, что окружность и прямая пересекаются в двух точках. Определим их координаты по графику:

Первая точка пересечения: $x = 2, y = 4$.

Вторая точка пересечения: $x = 4, y = 2$.

Проверим найденные решения подстановкой.

Для точки $(2, 4)$:

$$ \begin{cases} 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 \\ 2 + 4 = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 20 = 20 \\ 6 = 6 \end{cases} $$

Оба равенства верны, значит, точка $(2, 4)$ является решением.

Для точки $(4, 2)$:

$$ \begin{cases} 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20 \\ 4 + 2 = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 20 = 20 \\ 6 = 6 \end{cases} $$

Оба равенства верны, значит, точка $(4, 2)$ также является решением.

Ответ: $(2, 4), (4, 2)$.