Номер 278, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.6 Графическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 278, страница 104.

278 Найдите в данном перечне уравнения парабол, гипербол, окружностей, прямых и постройте графики этих уравнений в указанном порядке:

1) $x^2 - \frac{1}{3}y = 2$;

2) $x^2 + y^2 = 25$;

3) $xy = -4$;

4) $x^2 - x - y = 0$;

5) $y + 2x = 6$;

6) $3y - 6 = 0$;

7) $4 - 2xy = 0$;

8) $x^2 + y^2 - 9 = 0$.

Для решения задачи сначала классифицируем каждое уравнение, а затем построим их графики в указанном порядке: параболы, гиперболы, окружности, прямые.

Параболы

1) $x^2 - \frac{1}{3}y = 2$
Выразим $y$ из уравнения: $\frac{1}{3}y = x^2 - 2$, откуда $y = 3x^2 - 6$. Это уравнение параболы вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=3, b=0, c=-6$. Так как коэффициент $a=3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Для построения графика найдем координаты вершины и несколько точек.
Вершина параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 3} = 0$. $y_0 = 3(0)^2 - 6 = -6$. Координаты вершины: $(0, -6)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox (где $y=0$): $0 = 3x^2 - 6 \Rightarrow 3x^2 = 6 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$. Точки: $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$. Возьмем контрольные точки: при $x=2, y=3(2)^2 - 6 = 6$; при $x=-2, y=3(-2)^2 - 6 = 6$. График — парабола с вершиной в $(0, -6)$, проходящая через точки $(-\sqrt{2}, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$, $(-2, 6)$ и $(2, 6)$.
Ответ: Уравнение $x^2 - \frac{1}{3}y = 2$ является уравнением параболы.

4) $x^2 - x - y = 0$
Выразим $y$ из уравнения: $y = x^2 - x$. Это уравнение параболы вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1, b=-1, c=0$. Так как $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Для построения графика найдем координаты вершины и несколько точек.
Вершина параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. $y_0 = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$. Координаты вершины: $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$.
Найдем точки пересечения с осями. С осью Ox (где $y=0$): $x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x=0$ или $x=1$. Точки: $(0, 0)$ и $(1, 0)$. С осью Oy (где $x=0$): $y = 0^2 - 0 = 0$. Точка $(0, 0)$. График — парабола с вершиной в $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(1, 0)$.
Ответ: Уравнение $x^2 - x - y = 0$ является уравнением параболы.

Гиперболы

3) $xy = -4$
Выразим $y$ из уравнения: $y = -\frac{4}{x}$. Это уравнение гиперболы вида $y = \frac{k}{x}$, где $k=-4$. Так как $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат $x=0$ и $y=0$. Для построения графика найдем несколько точек: Если $x=1, y=-4$. Точка $(1, -4)$. Если $x=2, y=-2$. Точка $(2, -2)$. Если $x=4, y=-1$. Точка $(4, -1)$. Если $x=-1, y=4$. Точка $(-1, 4)$. Если $x=-2, y=2$. Точка $(-2, 2)$. Если $x=-4, y=1$. Точка $(-4, 1)$. График — гипербола с ветвями во второй и четвертой четвертях, проходящая через указанные точки.
Ответ: Уравнение $xy = -4$ является уравнением гиперболы.

7) $4 - 2xy = 0$
Преобразуем уравнение: $2xy = 4 \Rightarrow xy = 2$. Выразим $y$: $y = \frac{2}{x}$. Это уравнение гиперболы вида $y = \frac{k}{x}$, где $k=2$. Так как $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат $x=0$ и $y=0$. Для построения графика найдем несколько точек: Если $x=1, y=2$. Точка $(1, 2)$. Если $x=2, y=1$. Точка $(2, 1)$. Если $x=-1, y=-2$. Точка $(-1, -2)$. Если $x=-2, y=-1$. Точка $(-2, -1)$. График — гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях, проходящая через указанные точки.
Ответ: Уравнение $4 - 2xy = 0$ является уравнением гиперболы.

Окружности

2) $x^2 + y^2 = 25$
Это уравнение вида $(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2$. В данном случае $h=0, k=0$, а $R^2 = 25$, следовательно, радиус $R=5$. Графиком является окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом 5. Окружность пересекает оси координат в точках $(5, 0), (-5, 0), (0, 5)$ и $(0, -5)$.
Ответ: Уравнение $x^2 + y^2 = 25$ является уравнением окружности.

8) $x^2 + y^2 - 9 = 0$
Преобразуем уравнение: $x^2 + y^2 = 9$. Это уравнение вида $(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2$. В данном случае $h=0, k=0$, а $R^2 = 9$, следовательно, радиус $R=3$. Графиком является окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом 3. Окружность пересекает оси координат в точках $(3, 0), (-3, 0), (0, 3)$ и $(0, -3)$.
Ответ: Уравнение $x^2 + y^2 - 9 = 0$ является уравнением окружности.

Прямые

5) $y + 2x = 6$
Это линейное уравнение. Выразим $y$: $y = -2x + 6$. Графиком является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат: Если $x=0$, то $y = -2(0) + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$. Если $y=0$, то $0 = -2x + 6 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x=3$. Точка $(3, 0)$. Проводим прямую через точки $(0, 6)$ и $(3, 0)$.
Ответ: Уравнение $y + 2x = 6$ является уравнением прямой.

6) $3y - 6 = 0$
Это линейное уравнение. Преобразуем его: $3y = 6 \Rightarrow y = 2$. Это уравнение прямой, параллельной оси Ox. Для любого значения $x$ значение $y$ всегда равно 2. График — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 2)$.
Ответ: Уравнение $3y - 6 = 0$ является уравнением прямой.