Номер 276, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Глава 3. Уравнения и системы уравнений. 3.5 Решение задач - номер 276, страница 101.

Условие.

276 Чтобы проехать 36 км по просёлочной дороге и 9 км по шоссе, велосипедисту потребуется на 1 ч больше, чем если бы он ехал всё это расстояние по шоссе. Скорость велосипедиста при движении по шоссе на 6 км/ч больше его скорости на просёлочной дороге. Найдите скорость велосипедиста на шоссе.

Решение.

Решение 2.

Пусть скорость велосипедиста на просёлочной дороге равна $x$ км/ч. Согласно условию, его скорость на шоссе на 6 км/ч больше, следовательно, она составляет $(x + 6)$ км/ч.

Время, которое велосипедист тратит на 36 км по просёлочной дороге, равно $t_1 = \frac{36}{x}$ ч. Время, затраченное на 9 км по шоссе, равно $t_2 = \frac{9}{x+6}$ ч. Общее время в этом смешанном режиме составляет $T_{смеш} = \frac{36}{x} + \frac{9}{x+6}$ ч.

Общее расстояние, которое проехал велосипедист, составляет $36 + 9 = 45$ км. Если бы он ехал всё это расстояние только по шоссе со скоростью $(x + 6)$ км/ч, он бы затратил $T_{шоссе} = \frac{45}{x+6}$ ч.

По условию задачи, на смешанный путь требуется на 1 час больше, чем на путь только по шоссе. На основе этого составим уравнение:
$T_{смеш} = T_{шоссе} + 1$
$\frac{36}{x} + \frac{9}{x+6} = \frac{45}{x+6} + 1$

Для решения уравнения перенесём член $\frac{9}{x+6}$ из левой части в правую:
$\frac{36}{x} = \frac{45}{x+6} - \frac{9}{x+6} + 1$
$\frac{36}{x} = \frac{45-9}{x+6} + 1$
$\frac{36}{x} = \frac{36}{x+6} + 1$

Теперь перенесём член $\frac{36}{x+6}$ в левую часть и приведём дроби к общему знаменателю:
$\frac{36}{x} - \frac{36}{x+6} = 1$
$\frac{36(x+6) - 36x}{x(x+6)} = 1$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$\frac{36x + 216 - 36x}{x^2 + 6x} = 1$
$\frac{216}{x^2 + 6x} = 1$

Так как скорость $x$ должна быть положительной, знаменатель не равен нулю. Получаем уравнение:
$x^2 + 6x = 216$
$x^2 + 6x - 216 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900$
$\sqrt{D} = \sqrt{900} = 30$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-6 + 30}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-6 - 30}{2 \cdot 1} = \frac{-36}{2} = -18$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -18$ не является решением задачи. Следовательно, скорость велосипедиста на просёлочной дороге равна $12$ км/ч.

Задача требует найти скорость велосипедиста на шоссе. Она равна $x + 6$:
$12 + 6 = 18$ км/ч.
Ответ: 18 км/ч.