Номер 283, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.6 Графическое решение систем уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 283, страница 104.

283 Подберите какое-нибудь линейное уравнение с двумя переменными, которое вместе с уравнением $3x + 2y = 4$ составило бы систему:

1) имеющую одно решение;

2) имеющую бесконечно много решений;

3) не имеющую решений.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными в общем виде:

$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $

Количество решений такой системы зависит от соотношения коэффициентов уравнений. Графиком каждого линейного уравнения является прямая. Количество решений системы равно количеству точек пересечения этих прямых.

• Одно решение: прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны, что соответствует условию $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.
• Бесконечно много решений: прямые совпадают. Это происходит, когда все коэффициенты одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам другого, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
• Нет решений: прямые параллельны и не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены — нет, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

Нам дано уравнение $3x + 2y = 4$. В нём $a_1 = 3$, $b_1 = 2$ и $c_1 = 4$. Подберём второе уравнение для каждого из трёх случаев.

1) имеющую одно решение

Чтобы система имела одно решение, нам нужно составить второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$ так, чтобы выполнялось условие $\frac{3}{a_2} \neq \frac{2}{b_2}$. Для этого достаточно выбрать коэффициенты $a_2$ и $b_2$, не пропорциональные 3 и 2. Например, возьмем $a_2 = 1$ и $b_2 = 1$. Проверим условие: $\frac{3}{1} \neq \frac{2}{1}$, что является верным. Свободный член $c_2$ может быть любым, например, пусть $c_2 = 1$.

Таким образом, мы получаем уравнение $x + y = 1$. Система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 2y = 4 \\ x + y = 1 \end{cases} $

Эта система будет иметь одно решение, так как прямые, являющиеся графиками этих уравнений, имеют разные угловые коэффициенты и пересекаются.

Ответ: Например, $x + y = 1$.

2) имеющую бесконечно много решений

Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть эквивалентно первому. Это значит, что все его коэффициенты должны быть пропорциональны коэффициентам первого уравнения с одним и тем же множителем, то есть $\frac{3}{a_2} = \frac{2}{b_2} = \frac{4}{c_2}$.

Самый простой способ получить такое уравнение — умножить исходное уравнение на любое число, отличное от нуля. Например, умножим уравнение $3x + 2y = 4$ на 2:

$(3x + 2y) \cdot 2 = 4 \cdot 2$

$6x + 4y = 8$

В этом случае $a_2 = 6, b_2 = 4, c_2 = 8$. Проверим соотношение: $\frac{3}{6} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Условие выполняется, следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: Например, $6x + 4y = 8$.

3) не имеющую решений

Чтобы система не имела решений, коэффициенты при переменных $x$ и $y$ во втором уравнении должны быть пропорциональны коэффициентам в первом, а свободный член — не должен быть им пропорционален. То есть должно выполняться условие $\frac{3}{a_2} = \frac{2}{b_2} \neq \frac{4}{c_2}$.

Возьмем коэффициенты при $x$ и $y$ из предыдущего примера: $a_2=6$ и $b_2=4$. Тогда левая часть уравнения будет $6x + 4y$. Соотношение $\frac{3}{6} = \frac{2}{4}$ выполняется. Теперь подберем $c_2$ так, чтобы соотношение $\frac{4}{c_2}$ не равнялось $\frac{1}{2}$. Это означает, что $c_2 \neq 8$. Мы можем выбрать любое число, кроме 8, например, $c_2 = 5$.

Получаем уравнение $6x + 4y = 5$. Система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 2y = 4 \\ 6x + 4y = 5 \end{cases} $

Эта система не имеет решений, так как графики уравнений — это параллельные прямые.

Ответ: Например, $6x + 4y = 5$.