Номер 277, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

3.5 Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 277, страница 101.

277 Из города А в город В, расстояние между которыми 140 км, выехал поезд. В середине пути он был задержан на 24 мин, но, увеличив скорость на 20 км/ч, прибыл в город В без опоздания. Найдите первоначальную скорость поезда.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда. Общее расстояние составляет 140 км. Поезд был задержан на середине пути, то есть после прохождения $140 / 2 = 70$ км.

Первую половину пути (70 км) поезд проехал со скоростью $v$ км/ч.

Вторую половину пути (70 км) поезд проехал с увеличенной скоростью, равной $(v + 20)$ км/ч.

Задержка составила 24 минуты. Переведем это время в часы для согласованности единиц измерения:$24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = \frac{2}{5} \text{ ч}$

Поезд прибыл в пункт B без опоздания. Это означает, что время, потерянное на задержку, было скомпенсировано за счет увеличения скорости на второй половине пути. Иными словами, время, сэкономленное на втором участке, равно времени задержки.

Время, которое поезд потратил бы на вторую половину пути с первоначальной скоростью: $t_1 = \frac{70}{v}$ часов.

Время, которое поезд фактически потратил на вторую половину пути с увеличенной скоростью: $t_2 = \frac{70}{v+20}$ часов.

Разница во времени $t_1 - t_2$ и есть сэкономленное время, которое равно времени задержки. Составим уравнение:$\frac{70}{v} - \frac{70}{v+20} = \frac{2}{5}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+20)$:$\frac{70(v+20) - 70v}{v(v+20)} = \frac{2}{5}$

Раскроем скобки в числителе:$\frac{70v + 1400 - 70v}{v^2 + 20v} = \frac{2}{5}$

$\frac{1400}{v^2 + 20v} = \frac{2}{5}$

Воспользуемся основным свойством пропорции:$2(v^2 + 20v) = 1400 \cdot 5$

$2v^2 + 40v = 7000$

Разделим обе части уравнения на 2:$v^2 + 20v = 3500$

Получим квадратное уравнение:$v^2 + 20v - 3500 = 0$

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3500) = 400 + 14000 = 14400$

$\sqrt{D} = \sqrt{14400} = 120$

Теперь найдем возможные значения скорости $v$:$v_1 = \frac{-20 + 120}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$v_2 = \frac{-20 - 120}{2} = \frac{-140}{2} = -70$

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -70$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, первоначальная скорость поезда составляла 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.